Subgroups — #556757

Order 512.

5506 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#14657	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#14343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14337	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#14292	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#14290	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#14167	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#13871	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#525	—	2	16	no	—
13	C₂×#525	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂²×#123	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#120	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
21	#2280	—	2	16	no	—
22	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#380	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×#379	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	#1446	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#1445	C₂²	1	8	yes	complemented
31	#1440	C₂²	1	8	yes	—
32	#1440	C₂²	1	16	yes	—
33	#1438	C₂²	1	8	yes	—
34	#1438	C₂²	1	16	yes	—
35	#1438	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1437	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#1436	C₂²	1	16	yes	complemented
38	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂⁶	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#41	—	2	8	no	—
41	C₂²×#41	—	4	8	no	—
42	C₂²×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂⁴×C₄	—	4	8	no	—
48	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂⁴×C₄	D₄	1	16	yes	—
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#525	—	2	128	no	—
56	C₂×#123	—	2	16	no	—
57	C₂×#123	C₂×C₄	1	16	yes	—
58	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
61	C₂×#121	—	2	8	no	—
62	C₂×#121	—	2	8	no	—
63	C₂×#121	C₂×C₄	1	16	yes	—
64	C₂×#120	—	2	16	no	—
65	C₂×#120	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
69	C₂×#117	—	2	8	no	—
70	C₂×#117	—	2	16	no	—
71	C₂×#117	—	4	16	no	—
72	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
80	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
85	#381	—	2	16	no	—
86	#380	—	2	16	no	—
87	#380	—	2	16	no	—
88	#380	—	4	16	no	—
89	#379	—	2	16	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
96	C₂⁵	—	4	4	no	—
97	C₂⁵	—	4	8	no	—
98	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
100	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
101	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×#41	—	2	32	no	—
104	C₂×#41	—	4	32	no	—
105	C₂×#41	—	4	64	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	64	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
127	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	16	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#123	—	2	64	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
147	#121	—	2	64	no	—
148	#120	—	2	64	no	—
149	C₄×D₄	—	2	128	no	—
150	#117	—	2	32	no	—
151	#117	—	4	64	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
178	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
180	#95	—	2	16	no	—
181	#95	—	2	16	no	—
182	#95	—	4	32	no	—
183	#95	—	4	16	no	—
184	C₂⁴	—	2	8	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	8	no	—
187	C₂⁴	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	8	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	8	no	—
191	C₂⁴	—	2	16	no	—
192	C₂⁴	—	4	8	no	—
193	C₂⁴	—	4	16	no	—
194	C₂⁴	—	4	16	no	—
195	C₂⁴	—	4	16	no	—
196	C₂⁴	—	4	16	no	—
197	C₂⁴	—	4	32	no	—
198	C₂⁴	—	4	32	no	—
199	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
200	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
201	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
202	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
203	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
205	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
206	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	4	128	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	2	32	no	—
212	C₂×D₄	—	2	16	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	32	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	16	no	—
218	C₂×D₄	—	4	32	no	—
219	C₂×D₄	—	4	32	no	—
220	C₂×D₄	—	4	32	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	128	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
271	C₄²	—	2	16	no	—
272	C₄²	—	4	32	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	8	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	8	no	—
289	C₂³	—	2	16	no	—
290	C₂³	—	4	16	no	—
291	C₂³	—	4	32	no	—
292	C₂³	—	4	64	no	—
293	C₂³	—	4	128	no	—
294	C₂³	—	4	16	no	—
295	C₂³	—	4	8	no	—
296	C₂³	—	4	16	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	4	8	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	4	16	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
305	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
306	C₂³	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
308	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
309	C₂³	#585	1	8	yes	—
310	Q₈	—	4	16	no	—
311	D₄	—	4	16	no	—
312	D₄	—	4	64	no	—
313	D₄	—	4	32	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	64	no	—
320	C₂×C₄	—	2	32	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	16	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	32	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	32	no	—
331	C₂×C₄	—	4	16	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	32	no	—
335	C₂×C₄	—	4	32	no	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#518	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	#534	1	16	yes	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	4	64	no	—
347	C₂²	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	4	16	no	—
349	C₂²	—	4	16	no	—
350	C₂²	—	4	16	no	—
351	C₂²	—	4	16	no	—
352	C₂²	—	4	16	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	8	no	—
355	C₂²	—	8	16	no	—
356	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#518	1	2	yes	—
358	C₂²	#3428	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂×#534	1	4	yes	—
360	C₂²	#3449	1	4	yes	—
361	C₂²	#3449	1	4	yes	—
362	C₂²	#3539	1	8	yes	—
363	C₂²	#3540	1	8	yes	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	4	8	no	—
368	C₄	—	8	16	no	—
369	C₄	#2308	1	8	yes	—
370	C₂	—	4	4	no	—
371	C₂	—	4	8	no	—
372	C₂	—	8	4	no	—
373	C₂	C₂×#2308	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#34044	1	2	yes	—
375	C₂	#34361	1	4	yes	—
376	C₂	#37445	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
commutator	C₂³	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2280	C₂	semidirect
3. #14657	C₂	semidirect
4. #14343	C₂	semidirect
5. #14337	C₂	semidirect
6. #14292	C₂	semidirect
7. #14290	C₂	semidirect
8. #14167	C₂	semidirect
9. #13871	C₂	semidirect
13. C₂×#525	C₄	semidirect
25. C₂×#380	C₂²	semidirect
29. #1446	C₂²	semidirect
30. #1445	C₂²	semidirect
35. #1438	C₂²	semidirect
36. #1437	C₂²	semidirect
37. #1436	C₂²	semidirect
38. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
127. C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#525	2
C₂×#2280	2
#14657	2
#14343	2
#14337	2
#14292	2
#14290	2
#14167	2
#13871	2