Subgroups — #59042

Order 256.

1189 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2690	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2477	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2451	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2427	C₂	1	2	yes	maximal
11	#2421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
20	#533	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#400	C₂²	1	4	yes	—
42	#400	C₂²	1	4	yes	—
43	#398	C₂²	1	4	yes	—
44	#397	C₂²	1	4	yes	—
45	#397	C₂²	1	4	yes	—
46	#395	C₂²	1	4	yes	—
47	#394	C₂²	1	4	yes	—
48	#393	C₂²	1	4	yes	—
49	#391	C₂²	1	2	yes	—
50	#391	C₂²	1	2	yes	—
51	#391	C₂²	1	2	yes	—
52	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
53	#391	C₂²	1	4	yes	—
54	#391	C₂²	1	4	yes	—
55	#391	C₂²	1	2	yes	—
56	#391	C₂²	1	2	yes	—
57	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#389	C₂²	1	2	yes	—
59	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#388	C₂²	1	4	yes	—
62	#388	C₂²	1	4	yes	—
63	#388	C₂²	1	2	yes	—
64	#388	C₂²	1	4	yes	—
65	#387	C₂²	1	4	yes	—
66	#387	C₂²	1	4	yes	—
67	#387	C₂²	1	2	yes	—
68	#386	C₂²	1	4	yes	—
69	#386	C₂²	1	2	yes	—
70	#385	C₂²	1	4	yes	—
71	#385	C₂²	1	2	yes	—
72	#382	C₂²	1	2	yes	—
73	#380	C₂²	1	4	yes	—
74	#380	C₂²	1	2	yes	—
75	#380	C₂²	1	2	yes	—
76	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
102	#125	—	2	8	no	—
103	#124	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
109	#121	—	2	4	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	4	4	no	—
117	#117	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
186	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₂×Q₈	#41	1	4	yes	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
241	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	4	4	no	—
261	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
262	C₂³	—	2	1	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
275	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	2	8	no	—
278	Q₈	—	2	16	no	—
279	Q₈	—	4	16	no	—
280	Q₈	—	4	8	no	—
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	1	no	—
341	C₂²	—	4	1	no	—
342	C₂²	—	4	1	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	1	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	8	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	4	1	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	1	no	—
361	C₄	—	4	4	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	#546	1	4	yes	—
368	C₄	#548	1	4	yes	—
369	C₂	—	4	4	no	—
370	C₂	—	4	2	no	—
371	C₂	C₂×#546	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#3482	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3520	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3523	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#3550	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
2. C₂×#533	C₂	semidirect
3. #2690	C₂	semidirect
4. #2568	C₂	semidirect
5. #2547	C₂	semidirect
6. #2536	C₂	semidirect
7. #2492	C₂	semidirect
8. #2477	C₂	semidirect
9. #2451	C₂	semidirect
11. #2421	C₂	semidirect
12. #2409	C₂	semidirect
13. #2367	C₂	semidirect
14. #2365	C₂	semidirect
15. Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
16. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
101. C₄⋊Q₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×#533	2
#2690	2
#2568	2
#2547	2
#2536	2
#2492	2
#2477	2
#2451	2
#2427	2
#2421	2
#2409	2
#2367	2
#2365	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
C₄×#121	2