Subgroups — #59199

Order 256.

1078 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2748	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2742	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2564	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2563	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2505	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2497	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2440	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2437	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2358	C₂	1	2	yes	maximal
12	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2345	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
15	C₂×#380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#120	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
27	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#399	C₂²	1	2	yes	—
31	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#396	C₂²	1	4	yes	—
34	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#393	C₂²	1	2	yes	—
36	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#390	C₂²	1	2	yes	—
38	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#388	C₂²	1	4	yes	—
43	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#386	C₂²	1	2	yes	—
47	#386	C₂²	1	4	yes	—
48	#386	C₂²	1	2	yes	—
49	#386	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#385	C₂²	1	4	yes	—
51	#385	C₂²	1	4	yes	—
52	#385	C₂²	1	4	yes	—
53	#385	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#385	C₂²	1	2	yes	—
55	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#380	C₂²	1	2	yes	—
60	#380	C₂²	1	4	yes	—
61	#380	C₂²	1	4	yes	—
62	#380	C₂²	1	2	yes	—
63	#380	C₂²	1	2	yes	—
64	#380	C₂²	1	4	yes	—
65	#380	C₂²	1	2	yes	—
66	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#379	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
75	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
80	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
90	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
91	#120	Q₈	1	8	yes	complemented
92	C₄×D₄	—	2	8	no	—
93	C₄×D₄	—	4	2	no	—
94	C₄×D₄	—	4	8	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	2	yes	—
137	#95	C₂³	1	2	yes	—
138	#95	C₂³	1	2	yes	—
139	#95	C₂³	1	4	yes	—
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	2	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	2	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂⁴	—	2	4	no	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	4	1	no	—
149	C₂⁴	—	4	1	no	—
150	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	1	no	—
159	C₂×D₄	—	4	1	no	—
160	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
161	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₄²	—	2	2	no	—
226	C₄²	—	4	2	no	—
227	C₄²	—	4	4	no	—
228	C₂³	—	2	2	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	16	no	—
233	C₂³	—	2	2	no	—
234	C₂³	—	2	2	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	1	no	—
238	C₂³	—	2	1	no	—
239	C₂³	—	2	1	no	—
240	C₂³	—	2	1	no	—
241	C₂³	—	4	4	no	—
242	C₂³	—	4	4	no	—
243	C₂³	—	4	8	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
247	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
248	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
249	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
250	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	8	4	no	—
252	D₄	—	2	16	no	—
253	D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	16	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	8	no	—
287	C₂×C₄	—	8	8	no	—
288	C₂×C₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	4	no	—
296	C₂²	—	2	4	no	—
297	C₂²	—	2	4	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	4	16	no	—
305	C₂²	—	4	1	no	—
306	C₂²	—	4	1	no	—
307	C₂²	—	4	2	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	1	no	—
310	C₂²	—	4	1	no	—
311	C₂²	#554	1	8	yes	—
312	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
316	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	2	4	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	4	1	no	—
321	C₄	—	4	1	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	4	4	no	—
327	C₄	—	4	1	no	—
328	C₄	#551	1	4	yes	—
329	C₂	—	2	8	no	—
330	C₂	—	4	2	no	—
331	C₂	—	4	2	no	—
332	C₂	C₂×#551	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂×#554	1	2	yes	—
334	C₂	#3494	1	2	yes	—
335	C₂	#3501	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#3537	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#120	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2748	C₂	semidirect
2. #2742	C₂	semidirect
3. #2564	C₂	semidirect
4. #2563	C₂	semidirect
5. #2505	C₂	semidirect
6. #2497	C₂	semidirect
7. #2487	C₂	semidirect
8. #2487	C₂	semidirect
9. #2440	C₂	semidirect
10. #2437	C₂	semidirect
12. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
13. #2345	C₂	semidirect
15. C₂×#380	C₂	semidirect
17. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
27. #400	C₂²	semidirect
28. #400	C₂²	semidirect
29. #400	C₂²	semidirect
31. #399	C₂²	semidirect
32. #398	C₂²	semidirect
34. #395	C₂²	semidirect
36. #393	C₂²	semidirect
38. #389	C₂²	semidirect
39. #389	C₂²	semidirect
40. #389	C₂²	semidirect
41. #389	C₂²	semidirect
43. #387	C₂²	semidirect
44. #387	C₂²	semidirect
45. #387	C₂²	semidirect
55. #385	C₂²	semidirect
56. #385	C₂²	semidirect
57. #384	C₂²	semidirect
58. #382	C₂²	semidirect
66. #380	C₂²	semidirect
67. #380	C₂²	semidirect
69. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
70. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
91. #120	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2748	2
#2742	2
#2564	2
#2563	2
#2505	2
#2497	2
#2487	2
#2440	2
#2437	2
#2358	2
D₄×C₄⋊C₄	2
#2345	2
C₄×#120	2
C₂×#380	2