Subgroups — #59304

Order 256.

1225 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#553	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2718	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2552	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2501	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2496	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2443	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2422	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2416	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2354	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₂×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#553	—	2	16	no	—
19	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#400	C₂²	1	4	yes	—
41	#399	C₂²	1	4	yes	—
42	#399	C₂²	1	4	yes	—
43	#398	C₂²	1	4	yes	—
44	#397	C₂²	1	4	yes	—
45	#396	C₂²	1	4	yes	—
46	#394	C₂²	1	4	yes	—
47	#394	C₂²	1	4	yes	—
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#389	C₂²	1	4	yes	—
52	#389	C₂²	1	2	yes	—
53	#389	C₂²	1	2	yes	—
54	#389	C₂²	1	2	yes	—
55	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#388	C₂²	1	4	yes	—
58	#388	C₂²	1	2	yes	—
59	#388	C₂²	1	2	yes	—
60	#387	C₂²	1	4	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	2	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	—
66	#385	C₂²	1	4	yes	—
67	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
68	#384	C₂²	1	2	yes	—
69	#384	C₂²	1	2	yes	—
70	#384	C₂²	1	2	yes	—
71	#384	C₂²	1	2	yes	—
72	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#380	C₂²	1	2	yes	—
75	#380	C₂²	1	2	yes	—
76	#380	C₂²	1	2	yes	—
77	#380	C₂²	1	2	yes	—
78	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	#126	—	2	16	no	—
97	#125	—	2	8	no	—
98	#123	—	2	16	no	—
99	#123	—	4	8	no	—
100	#121	—	2	8	no	—
101	#121	—	2	16	no	—
102	#121	—	2	4	no	—
103	#121	—	4	4	no	—
104	#121	D₄	1	8	yes	complemented
105	C₄×D₄	—	2	16	no	—
106	C₄×D₄	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	C₄×D₄	—	2	8	no	—
109	C₄×D₄	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	4	no	—
111	#117	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	#41	1	4	yes	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
288	D₄	—	2	16	no	—
289	D₄	—	2	8	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	#547	1	4	yes	—
363	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	#547	1	4	yes	—
383	C₄	#553	1	4	yes	complemented
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	4	4	no	—
386	C₂	—	8	2	no	—
387	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
388	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#553	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#3492	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#3511	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#3552	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#553	C₂	semidirect
2. #2718	C₂	semidirect
3. #2552	C₂	semidirect
4. #2537	C₂	semidirect
5. #2501	C₂	semidirect
6. #2496	C₂	semidirect
7. #2487	C₂	semidirect
8. #2443	C₂	semidirect
9. #2441	C₂	semidirect
10. #2422	C₂	semidirect
11. #2416	C₂	semidirect
12. #2354	C₂	semidirect
13. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
14. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
15. C₄×#121	C₂	semidirect
16. C₄×#121	C₂	semidirect
17. C₂×#384	C₂	semidirect
104. #121	D₄	semidirect
383. C₄	#553	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#553	2
#2718	2
#2552	2
#2537	2
#2501	2
#2496	2
#2487	2
#2443	2
#2441	2
#2422	2
#2416	2
#2354	2
D₄×C₄⋊C₄	2
C₄×#121	2
C₂×#384	2