Subgroups — #59375

Order 256.

1264 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#551	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2693	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2684	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2600	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2496	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2480	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2477	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2422	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	#2354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#551	—	2	16	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#123	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#397	C₂²	1	4	yes	—
35	#397	C₂²	1	2	yes	—
36	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#394	C₂²	1	2	yes	—
40	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#392	C₂²	1	2	yes	—
43	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#390	C₂²	1	2	yes	—
45	#390	C₂²	1	2	yes	—
46	#390	C₂²	1	2	yes	—
47	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#388	C₂²	1	2	yes	—
50	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#387	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#379	C₂²	1	4	yes	—
69	#379	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
76	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
91	#126	—	2	16	no	—
92	#124	—	2	8	no	—
93	#123	—	2	16	no	—
94	#123	D₄	1	8	yes	complemented
95	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
96	#121	—	2	8	no	—
97	#120	—	2	8	no	—
98	C₄×D₄	—	2	8	no	—
99	C₄×D₄	—	2	16	no	—
100	C₄×D₄	—	4	4	no	—
101	C₄×D₄	—	4	2	no	—
102	#117	—	2	16	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
140	#95	C₂³	1	2	yes	—
141	#95	C₂³	1	2	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	2	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	#95	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂⁴	—	2	4	no	—
153	C₂⁴	—	2	8	no	—
154	C₂⁴	—	4	2	no	—
155	C₂⁴	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	2	no	—
157	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×D₄	—	2	8	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	1	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	1	no	—
171	C₂×D₄	—	4	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	16	no	—
173	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
213	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	8	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	1	no	—
242	C₂³	—	2	1	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	4	8	no	—
252	C₂³	—	4	16	no	—
253	C₂³	—	8	4	no	—
254	C₂³	—	8	8	no	—
255	C₂³	—	8	4	no	—
256	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
259	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	8	4	no	—
261	D₄	—	2	16	no	—
262	D₄	—	4	4	no	—
263	D₄	—	4	16	no	—
264	D₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	8	no	—
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
303	C₂²	—	2	8	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	8	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	8	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	1	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	1	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	1	no	—
320	C₂²	—	8	16	no	—
321	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#585	1	2	yes	—
325	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
326	C₄	—	2	4	no	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	1	no	—
332	C₄	—	4	1	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	1	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	#551	1	4	yes	complemented
338	C₂	—	4	2	no	—
339	C₂	—	4	8	no	—
340	C₂	—	4	2	no	—
341	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
342	C₂	C₂×#551	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#3521	1	2	yes	—
345	C₂	#3540	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2408	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#551	C₂	semidirect
2. #2693	C₂	semidirect
3. #2684	C₂	semidirect
4. #2600	C₂	semidirect
5. #2547	C₂	semidirect
6. #2496	C₂	semidirect
7. #2480	C₂	semidirect
8. #2477	C₂	semidirect
9. #2452	C₂	semidirect
10. #2422	C₂	semidirect
12. #2354	C₂	semidirect
13. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
14. C₄×#123	C₂	semidirect
15. C₄×#121	C₂	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×#123	C₂²	semidirect
23. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×#117	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
33. #400	C₂²	semidirect
36. #397	C₂²	semidirect
37. #397	C₂²	semidirect
38. #396	C₂²	semidirect
40. #394	C₂²	semidirect
41. #393	C₂²	semidirect
43. #391	C₂²	semidirect
47. #389	C₂²	semidirect
48. #389	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #388	C₂²	semidirect
53. #387	C₂²	semidirect
54. #387	C₂²	semidirect
58. #386	C₂²	semidirect
59. #385	C₂²	semidirect
60. #385	C₂²	semidirect
61. #385	C₂²	semidirect
62. #384	C₂²	semidirect
63. #381	C₂²	semidirect
66. #380	C₂²	semidirect
67. #380	C₂²	semidirect
70. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
71. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
72. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
74. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
75. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
94. #123	D₄	semidirect
189. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
212. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
230. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
337. C₄	#551	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#551	2
#2693	2
#2684	2
#2600	2
#2547	2
#2496	2
#2480	2
#2477	2
#2452	2
#2422	2
#2408	2
#2354	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
C₄×#123	2
C₄×#121	2