Subgroups — #59814

Order 256.

1783 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#2683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2679	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2534	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2461	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2424	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2406	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2403	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2358	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₄×#121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#546	—	2	32	no	—
18	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#392	C₂²	1	4	yes	—
45	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	2	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
68	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#41	—	2	16	no	—
71	C₂×#41	—	4	4	no	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
76	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	#124	—	2	16	no	—
94	#123	—	2	16	no	—
95	#123	—	2	16	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
97	#121	—	2	16	no	—
98	#121	—	2	16	no	—
99	#121	D₄	1	16	yes	complemented
100	#120	—	2	16	no	—
101	#120	—	2	16	no	—
102	#120	—	2	8	no	—
103	#120	—	4	4	no	—
104	C₄×D₄	—	2	16	no	—
105	C₄×D₄	—	2	16	no	—
106	C₄×D₄	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	#95	C₂³	1	4	yes	—
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	2	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂⁴	—	2	4	no	—
147	C₂⁴	—	2	8	no	—
148	C₂⁴	—	2	8	no	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	4	2	no	—
152	C₂⁴	—	4	2	no	—
153	C₂⁴	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	—	4	4	no	—
155	C₂⁴	—	4	2	no	—
156	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	#41	—	4	32	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×D₄	—	2	8	no	—
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	8	no	—
171	C₂×D₄	—	2	8	no	—
172	C₂×D₄	—	2	2	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	1	no	—
176	C₂×D₄	—	4	1	no	—
177	C₂×D₄	—	4	1	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	1	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	16	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	32	no	—
188	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
189	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
190	C₂×D₄	#41	1	4	yes	complemented
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
225	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
241	C₄²	—	2	8	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	4	1	no	—
244	C₄²	—	4	1	no	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	1	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	16	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	8	8	no	—
269	C₂³	—	8	4	no	—
270	C₂³	—	8	4	no	—
271	C₂³	—	8	8	no	—
272	C₂³	—	8	4	no	—
273	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
274	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
276	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
277	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	4	8	no	—
279	D₄	—	2	32	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	4	8	no	—
282	D₄	—	4	16	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	16	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	8	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	16	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	2	8	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	16	no	—
341	C₂²	—	8	16	no	—
342	C₂²	D₄²	1	4	yes	—
343	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#585	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	—	4	8	no	—
359	C₂	—	4	4	no	—
360	C₂	—	8	2	no	—
361	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
362	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
363	C₂	#3490	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#3496	1	2	yes	—
365	C₂	#3545	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#546	C₂	semidirect
2. #2683	C₂	semidirect
3. #2682	C₂	semidirect
4. #2679	C₂	semidirect
5. #2555	C₂	semidirect
6. #2534	C₂	semidirect
7. #2461	C₂	semidirect
8. #2424	C₂	semidirect
9. #2406	C₂	semidirect
10. #2403	C₂	semidirect
11. #2358	C₂	semidirect
12. C₄×#121	C₂	semidirect
13. C₂×#390	C₂	semidirect
16. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
18. C₂×#124	C₂²	semidirect
19. C₂×#123	C₂²	semidirect
20. C₂×#123	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#121	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
27. C₂×#120	C₂²	semidirect
28. C₂×#120	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
35. C₂²×C₄²	C₂²	semidirect
36. #396	C₂²	semidirect
37. #396	C₂²	semidirect
38. #395	C₂²	semidirect
39. #395	C₂²	semidirect
40. #394	C₂²	semidirect
41. #394	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #394	C₂²	semidirect
45. #392	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #390	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
51. #390	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
57. #386	C₂²	semidirect
58. #386	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
61. #385	C₂²	semidirect
62. #385	C₂²	semidirect
63. #381	C₂²	semidirect
64. #380	C₂²	semidirect
65. #379	C₂²	semidirect
66. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
67. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
99. #121	D₄	semidirect
189. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
190. C₂×D₄	#41	semidirect
224. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
240. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
#2683	2
#2682	2
#2679	2
#2555	2
#2534	2
#2461	2
#2424	2
#2406	2
#2403	2
#2358	2
C₄×#121	2
C₂×#390	2