Subgroups — #59817

Order 256.

1510 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 180 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#2683	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2551	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2538	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2452	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2409	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2366	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
11	D₄×Q₈	—	2	32	no	—
12	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	16	yes	—
17	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
21	#396	C₂²	1	16	yes	—
22	#395	C₂²	1	8	yes	—
23	#393	C₂²	1	8	yes	—
24	#391	C₂²	1	4	yes	—
25	#390	C₂²	1	2	yes	—
26	#390	C₂²	1	4	yes	—
27	#390	C₂²	1	8	yes	—
28	#389	C₂²	1	4	yes	—
29	#389	C₂²	1	4	yes	—
30	#389	C₂²	1	8	yes	—
31	#386	C₂²	1	8	yes	—
32	#385	C₂²	1	8	yes	—
33	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#384	C₂²	1	2	yes	—
35	#380	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
40	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
41	C₂²×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
42	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
47	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
48	C₄⋊Q₈	D₄	1	16	yes	complemented
49	#127	Q₈	1	8	yes	complemented
50	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
51	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
52	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
53	C₄×D₄	—	2	32	no	—
54	C₄×D₄	—	2	16	no	—
55	C₄×D₄	—	4	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#95	C₂³	1	8	yes	—
76	#95	C₂³	1	8	yes	—
77	#95	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
79	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
80	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
81	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
83	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
84	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
85	C₂×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂×D₄	—	2	8	no	—
87	C₂×D₄	—	4	2	no	—
88	C₂×D₄	—	4	2	no	—
89	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
90	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
91	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
93	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
95	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
103	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
105	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
107	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
109	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
110	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
111	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
112	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
113	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
114	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
115	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₄²	—	2	16	no	—
117	C₄²	—	2	2	no	—
118	C₄²	—	2	4	no	—
119	C₄²	—	4	1	no	—
120	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
122	C₂³	—	2	8	no	—
123	C₂³	—	2	4	no	—
124	C₂³	—	2	8	no	—
125	C₂³	—	2	4	no	—
126	C₂³	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
127	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
128	Q₈	—	2	32	no	—
129	Q₈	—	4	32	no	—
130	D₄	—	2	32	no	—
131	D₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄	—	4	32	no	—
146	C₂×C₄	—	4	16	no	—
147	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
149	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
155	C₂²	—	2	16	no	—
156	C₂²	—	2	8	no	—
157	C₂²	—	4	4	no	—
158	C₂²	—	4	8	no	—
159	C₂²	—	4	4	no	—
160	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
163	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
164	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
165	C₄	—	2	16	no	—
166	C₄	—	2	4	no	—
167	C₄	—	2	2	no	—
168	C₄	—	4	4	no	—
169	C₄	—	4	8	no	—
170	C₄	—	4	1	no	—
171	C₄	D₄²	1	4	yes	—
172	C₄	D₄×Q₈	1	8	yes	complemented
173	C₂	—	4	8	no	—
174	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
175	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂	#3497	1	2	yes	—
177	C₂	#3501	1	1	yes	characteristic
178	C₂	#3550	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
2. #2683	C₂	semidirect
3. #2551	C₂	semidirect
4. #2538	C₂	semidirect
5. #2452	C₂	semidirect
6. #2409	C₂	semidirect
8. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
48. C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
49. #127	Q₈	semidirect
89. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
90. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
121. C₄²	C₂×Q₈	semidirect
172. C₄	D₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
#2683	2
#2551	2
#2538	2
#2452	2
#2409	2
#2366	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₄×#127	2