Subgroups — #59818

Order 256.

1638 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#548	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2472	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2464	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2407	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2358	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#548	—	2	16	no	—
20	#546	—	2	16	no	—
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
40	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
42	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	2	yes	—
46	#394	C₂²	1	4	yes	—
47	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#393	C₂²	1	2	yes	—
49	#392	C₂²	1	2	yes	—
50	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#390	C₂²	1	2	yes	—
55	#390	C₂²	1	2	yes	—
56	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#388	C₂²	1	4	yes	—
59	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
69	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	#379	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
76	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
77	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#41	—	2	8	no	—
79	C₂×#41	—	2	8	no	—
80	C₂×#41	—	4	4	no	—
81	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
83	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	#127	—	2	4	no	—
103	#124	—	2	16	no	—
104	#124	D₄	1	16	yes	complemented
105	#123	—	2	16	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
109	#121	—	2	8	no	—
110	#121	—	2	8	no	—
111	#121	—	2	16	no	—
112	#121	—	2	16	no	—
113	#120	—	2	8	no	—
114	#120	—	2	16	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
116	C₄×D₄	—	2	16	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	2	8	no	—
120	C₄×D₄	—	4	2	no	—
121	C₄×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	C₂⁴	—	2	8	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#41	—	4	32	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
179	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	1	no	—
194	C₂×D₄	—	4	1	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	1	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	1	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	16	no	—
205	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
206	C₂×D₄	#41	1	4	yes	complemented
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
260	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	4	1	no	—
265	C₄²	—	4	2	no	—
266	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	4	16	no	—
290	C₂³	—	8	8	no	—
291	C₂³	—	8	4	no	—
292	C₂³	—	8	4	no	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
294	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	2	16	no	—
298	Q₈	—	4	8	no	—
299	D₄	—	2	16	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	4	8	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	4	16	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	16	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	8	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	8	8	no	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	1	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	8	16	no	—
368	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
369	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#585	1	2	yes	—
372	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
373	C₄	—	2	8	no	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	1	no	—
379	C₄	—	4	1	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	—	4	1	no	—
383	C₄	D₄²	1	4	yes	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	4	8	no	—
386	C₂	—	4	2	no	—
387	C₂	—	8	2	no	—
388	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
389	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
390	C₂	#3500	1	2	yes	—
391	C₂	#3505	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#3551	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#548	C₂	semidirect
2. C₂×#546	C₂	semidirect
3. #2680	C₂	semidirect
4. #2669	C₂	semidirect
5. #2555	C₂	semidirect
6. #2536	C₂	semidirect
7. #2535	C₂	semidirect
8. #2472	C₂	semidirect
9. #2464	C₂	semidirect
10. #2409	C₂	semidirect
11. #2408	C₂	semidirect
12. #2407	C₂	semidirect
13. #2358	C₂	semidirect
14. C₄×#127	C₂	semidirect
15. C₄×#124	C₂	semidirect
17. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
31. C₂×#121	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
38. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
40. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
43. #397	C₂²	semidirect
44. #395	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
50. #392	C₂²	semidirect
51. #392	C₂²	semidirect
52. #391	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #390	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #388	C₂²	semidirect
61. #388	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
64. #386	C₂²	semidirect
65. #386	C₂²	semidirect
66. #385	C₂²	semidirect
67. #385	C₂²	semidirect
68. #384	C₂²	semidirect
69. #382	C₂²	semidirect
71. #380	C₂²	semidirect
72. #380	C₂²	semidirect
74. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
75. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
76. C₄³	C₂²	semidirect
104. #124	D₄	semidirect
206. C₂×D₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#548	2
C₂×#546	2
#2680	2
#2669	2
#2555	2
#2536	2
#2535	2
#2472	2
#2464	2
#2409	2
#2408	2
#2407	2
#2358	2
C₄×#127	2
C₄×#124	2