Subgroups — #59823

Order 256.

1194 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 273 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2732	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2552	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2538	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2454	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2417	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2366	C₂	1	2	yes	maximal
10	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	#554	—	2	16	no	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#125	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	#399	C₂²	1	8	yes	—
31	#398	C₂²	1	8	yes	—
32	#396	C₂²	1	8	yes	—
33	#396	C₂²	1	8	yes	—
34	#391	C₂²	1	2	yes	—
35	#391	C₂²	1	2	yes	—
36	#390	C₂²	1	2	yes	—
37	#390	C₂²	1	2	yes	—
38	#390	C₂²	1	2	yes	—
39	#390	C₂²	1	4	yes	—
40	#390	C₂²	1	4	yes	—
41	#389	C₂²	1	2	yes	—
42	#389	C₂²	1	2	yes	—
43	#389	C₂²	1	2	yes	—
44	#389	C₂²	1	2	yes	—
45	#389	C₂²	1	4	yes	—
46	#389	C₂²	1	4	yes	—
47	#386	C₂²	1	8	yes	—
48	#385	C₂²	1	8	yes	—
49	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#384	C₂²	1	4	yes	—
53	#380	C₂²	1	4	yes	—
54	#380	C₂²	1	8	yes	—
55	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
56	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
57	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
58	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
59	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
68	C₄⋊Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
69	#127	Q₈	1	8	yes	complemented
70	#125	—	2	16	no	—
71	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
72	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
73	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
74	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
75	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
76	C₄×D₄	—	2	16	no	—
77	C₄×D₄	—	2	8	no	—
78	C₄×D₄	—	2	8	no	—
79	C₄×D₄	—	4	8	no	—
80	C₄×D₄	—	4	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#95	C₂³	1	4	yes	—
116	#95	C₂³	1	4	yes	—
117	#95	C₂³	1	4	yes	—
118	#95	C₂³	1	4	yes	—
119	#95	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
121	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
125	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	4	2	no	—
132	C₂×D₄	—	4	2	no	—
133	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
134	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
135	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
136	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
170	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₄²	—	2	8	no	—
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₄²	—	2	8	no	—
181	C₄²	—	2	2	no	—
182	C₄²	—	2	2	no	—
183	C₄²	—	4	1	no	—
184	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
186	C₄²	#41	1	4	yes	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
194	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
195	Q₈	—	4	8	no	—
196	Q₈	—	4	8	no	—
197	D₄	—	2	16	no	—
198	D₄	—	2	16	no	—
199	D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂×C₄	—	8	16	no	—
225	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
237	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
238	C₂²	—	2	8	no	—
239	C₂²	—	2	8	no	—
240	C₂²	—	2	8	no	—
241	C₂²	—	4	4	no	—
242	C₂²	—	4	4	no	—
243	C₂²	—	4	4	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
252	C₄	—	2	8	no	—
253	C₄	—	2	2	no	—
254	C₄	—	2	2	no	—
255	C₄	—	2	2	no	—
256	C₄	—	4	4	no	—
257	C₄	—	4	4	no	—
258	C₄	—	4	4	no	—
259	C₄	—	4	1	no	—
260	C₄	—	4	4	no	—
261	C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
262	C₄	#550	1	4	yes	—
263	C₄	#554	1	4	yes	complemented
264	C₂	—	4	8	no	—
265	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
267	C₂	C₂×#554	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#3501	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#3507	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#3548	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#554	C₂	semidirect
2. #2732	C₂	semidirect
3. #2552	C₂	semidirect
4. #2542	C₂	semidirect
5. #2538	C₂	semidirect
6. #2538	C₂	semidirect
7. #2454	C₂	semidirect
8. #2417	C₂	semidirect
10. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
68. C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
69. #127	Q₈	semidirect
263. C₄	#554	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#554	2
#2732	2
#2552	2
#2542	2
#2538	2
#2454	2
#2417	2
#2366	2
D₄×C₄⋊C₄	2
C₄×C₄⋊Q₈	2
C₄×#127	2