Subgroups — #59836

Order 256.

1232 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#551	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2724	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2679	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#2609	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2553	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2536	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2468	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2358	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2293	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#551	—	2	16	no	—
15	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#394	C₂²	1	2	yes	—
37	#394	C₂²	1	2	yes	—
38	#394	C₂²	1	4	yes	—
39	#394	C₂²	1	4	yes	—
40	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#390	C₂²	1	2	yes	—
44	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	4	yes	—
53	#386	C₂²	1	4	yes	—
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
67	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	#126	—	2	16	no	—
79	#124	D₄	1	8	yes	complemented
80	#123	—	2	8	no	—
81	#123	—	2	16	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
83	#120	—	2	8	no	—
84	#120	—	2	16	no	—
85	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
86	C₄×D₄	—	2	8	no	—
87	C₄×D₄	—	2	16	no	—
88	C₄×D₄	—	4	4	no	—
89	C₄×D₄	—	4	2	no	—
90	#117	—	2	16	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#95	C₂³	1	4	yes	—
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	4	yes	—
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	4	yes	—
134	#95	C₂³	1	2	yes	—
135	#95	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂⁴	—	2	4	no	—
137	C₂⁴	—	2	8	no	—
138	C₂⁴	—	4	2	no	—
139	C₂⁴	—	4	4	no	—
140	C₂⁴	—	4	2	no	—
141	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
144	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
145	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	4	1	no	—
150	C₂×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂×D₄	—	4	2	no	—
153	C₂×D₄	—	4	1	no	—
154	C₂×D₄	—	4	4	no	—
155	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
206	C₄²	—	2	8	no	—
207	C₄²	—	2	4	no	—
208	C₄²	—	2	2	no	—
209	C₄²	—	2	4	no	—
210	C₄²	—	4	1	no	—
211	C₄²	—	4	2	no	—
212	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	—	2	4	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	4	16	no	—
224	C₂³	—	4	8	no	—
225	C₂³	—	8	8	no	—
226	C₂³	—	8	4	no	—
227	C₂³	—	8	4	no	—
228	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
230	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
231	Q₈	—	4	4	no	—
232	D₄	—	4	4	no	—
233	D₄	—	4	8	no	—
234	D₄	—	4	16	no	—
235	D₄	—	4	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	16	no	—
261	C₂×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂×C₄	—	8	4	no	—
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	—	2	8	no	—
271	C₂²	—	2	8	no	—
272	C₂²	—	2	8	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	4	no	—
278	C₂²	—	4	4	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	8	16	no	—
282	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
284	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#585	1	2	yes	—
286	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	2	4	no	—
290	C₄	—	2	2	no	—
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	4	4	no	—
293	C₄	—	4	4	no	—
294	C₄	—	4	1	no	—
295	C₄	—	4	2	no	—
296	C₄	—	4	4	no	—
297	C₄	—	4	2	no	—
298	C₂	—	4	8	no	—
299	C₂	—	4	4	no	—
300	C₂	D₄×#41	1	2	yes	—
301	C₂	#3481	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#3491	1	2	yes	—
303	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#3545	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2679	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#551	C₂	semidirect
2. #2732	C₂	semidirect
3. #2724	C₂	semidirect
5. #2609	C₂	semidirect
6. #2553	C₂	semidirect
7. #2536	C₂	semidirect
8. #2534	C₂	semidirect
9. #2468	C₂	semidirect
10. #2418	C₂	semidirect
11. #2358	C₂	semidirect
12. C₄×#124	C₂	semidirect
13. #2293	C₂	semidirect
15. C₂×#126	C₂²	semidirect
19. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×#117	C₂²	semidirect
28. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
29. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
30. #399	C₂²	semidirect
31. #398	C₂²	semidirect
32. #398	C₂²	semidirect
33. #398	C₂²	semidirect
34. #397	C₂²	semidirect
35. #396	C₂²	semidirect
40. #391	C₂²	semidirect
44. #389	C₂²	semidirect
45. #389	C₂²	semidirect
46. #388	C₂²	semidirect
47. #388	C₂²	semidirect
48. #388	C₂²	semidirect
49. #388	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #387	C₂²	semidirect
55. #385	C₂²	semidirect
56. #385	C₂²	semidirect
57. #385	C₂²	semidirect
58. #382	C₂²	semidirect
59. #382	C₂²	semidirect
60. #381	C₂²	semidirect
61. #380	C₂²	semidirect
62. #380	C₂²	semidirect
63. #379	C₂²	semidirect
64. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
66. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
67. C₄³	C₂²	semidirect
79. #124	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#551	2
#2732	2
#2724	2
#2679	2
#2609	2
#2553	2
#2536	2
#2534	2
#2468	2
#2418	2
#2358	2
C₄×#124	2
#2293	2