Subgroups — #60064

Order 256.

2567 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 175 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#568	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2880	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#2879	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	C₂×#407	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#41	—	2	16	no	—
7	C₂²×#41	C₄	1	8	yes	—
8	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#41	C₄	1	3	yes	—
10	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂²×#41	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₄	1	3	yes	—
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	3	yes	—
16	#568	—	2	16	no	—
17	C₂×#131	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	12	yes	complemented
19	#408	C₂²	1	48	yes	complemented
20	#407	C₂²	1	4	yes	—
21	#407	C₂²	1	24	yes	complemented
22	#407	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	24	yes	complemented
24	C₂⁵	C₂×C₄	1	3	yes	—
25	C₂×#41	—	2	64	no	—
26	C₂×#41	—	2	64	no	—
27	C₂×#41	—	2	8	no	—
28	C₂×#41	—	2	24	no	—
29	C₂×#41	—	2	24	no	—
30	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂×#41	C₂×C₄	1	24	yes	—
32	C₂×#41	C₂×C₄	1	12	yes	—
33	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂×#41	D₄	1	16	yes	—
35	C₂×#41	C₂³	1	12	yes	—
36	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
38	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
40	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
42	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
43	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
44	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
45	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
46	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
47	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
48	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
49	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
55	#131	—	2	64	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
57	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×M₁₆	C₂³	1	24	yes	complemented
59	C₂²×C₈	C₂³	1	24	yes	complemented
60	C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
61	C₂²⋊C₈	C₂³	1	48	yes	complemented
62	C₂⁴	—	2	12	no	—
63	C₂⁴	—	4	12	no	—
64	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂⁴	C₂²×C₄	1	12	yes	—
66	C₂⁴	C₂²×C₄	1	3	yes	—
67	C₂⁴	C₂²×C₄	1	3	yes	—
68	#41	—	2	32	no	—
69	#41	—	2	96	no	—
70	#41	—	2	48	no	—
71	#41	—	2	48	no	—
72	#41	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
73	#41	C₂×D₄	1	32	yes	—
74	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
75	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
76	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
77	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
78	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×D₄	—	2	24	no	—
80	C₂×D₄	—	2	96	no	—
81	C₂×D₄	—	2	12	no	—
82	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
83	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
84	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
85	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
86	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
87	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
88	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
89	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
90	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
92	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	M₁₆	—	2	16	no	—
108	M₁₆	—	2	48	no	—
109	C₂×C₈	—	2	48	no	—
110	C₂×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
111	C₂³	—	2	2	no	—
112	C₂³	—	2	4	no	—
113	C₂³	—	2	24	no	—
114	C₂³	—	2	6	no	—
115	C₂³	—	2	24	no	—
116	C₂³	—	4	6	no	—
117	C₂³	—	4	12	no	—
118	C₂³	—	4	6	no	—
119	C₂³	—	4	48	no	—
120	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
121	C₂³	C₂³×C₄	1	6	yes	—
122	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³	C₂³×C₄	1	6	yes	—
124	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
125	Q₈	—	2	24	no	—
126	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
127	D₄	—	2	48	no	—
128	D₄	—	2	24	no	—
129	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
130	C₂×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄	—	2	6	no	—
132	C₂×C₄	—	2	24	no	—
133	C₂×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄	—	2	24	no	—
135	C₂×C₄	—	2	24	no	—
136	C₂×C₄	—	2	12	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	12	no	—
139	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
140	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
141	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
143	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
145	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
146	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
148	C₈	—	2	16	no	—
149	C₂²	—	2	8	no	—
150	C₂²	—	2	2	no	—
151	C₂²	—	2	2	no	—
152	C₂²	—	2	2	no	—
153	C₂²	—	2	12	no	—
154	C₂²	—	2	6	no	—
155	C₂²	—	2	12	no	—
156	C₂²	—	4	12	no	—
157	C₂²	—	4	48	no	—
158	C₂²	—	4	12	no	—
159	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
161	C₂²	#568	1	4	yes	complemented
162	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄	—	2	2	no	—
164	C₄	—	2	6	no	—
165	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
167	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
168	C₂	—	2	2	no	—
169	C₂	—	2	4	no	—
170	C₂	—	2	12	no	—
171	C₂	—	4	6	no	—
172	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂	C₂×#568	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂³×#41	C₂
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#568	C₂	semidirect
3. #2880	C₂	semidirect
4. #2879	C₂	semidirect
5. C₂×#407	C₂	semidirect
17. C₂×#131	C₂²	semidirect
18. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
19. #408	C₂²	semidirect
21. #407	C₂²	semidirect
22. #407	C₂²	semidirect
23. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
58. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
59. C₂²×C₈	C₂³	semidirect
61. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
161. C₂²	#568	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#41	2
C₂×#568	2
#2880	2
#2879	2
C₂×#407	2