Subgroups — #60089

Order 256.

2451 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 202 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2898	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2897	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2896	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	C₂×#417	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#585	—	2	8	no	—
9	#585	C₄	1	16	yes	complemented
10	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
11	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
13	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#41	—	2	4	no	—
15	C₂²×#41	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#568	—	2	8	no	—
18	C₂×#131	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	6	yes	complemented
20	#520	—	2	4	no	—
21	#520	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄×D₄	—	2	3	no	—
24	C₂×#117	C₂²	1	3	yes	complemented
25	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
26	#419	C₂²	1	12	yes	complemented
27	#418	C₂²	1	12	yes	complemented
28	#417	C₂²	1	12	yes	complemented
29	#417	C₂²	1	24	yes	complemented
30	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#416	C₂²	1	24	yes	complemented
32	C₂×#103	C₂²	1	12	yes	complemented
33	C₂×#102	C₂²	1	12	yes	complemented
34	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
35	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
36	2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
37	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
38	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
39	H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
40	C₂×#41	—	2	64	no	—
41	C₂×#41	—	2	4	no	—
42	C₂×#41	—	2	12	no	—
43	C₂×#41	—	2	6	no	—
44	C₂×#41	—	2	6	no	—
45	C₂×#41	—	2	24	no	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
48	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
49	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
50	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×#41	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
58	C₂²×D₄	D₄	1	3	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
63	#131	—	2	32	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	24	no	—
65	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×M₁₆	C₂³	1	12	yes	—
67	C₂²×C₈	C₂³	1	12	yes	—
68	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
69	C₄×D₄	—	2	24	no	—
70	#117	—	2	6	no	—
71	#117	C₂³	1	12	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
79	#103	C₂³	1	24	yes	—
80	#103	C₂³	1	8	yes	—
81	#102	C₂³	1	24	yes	—
82	#102	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂⁴	—	2	6	no	—
84	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
85	#41	—	2	32	no	—
86	#41	—	2	96	no	—
87	#41	—	2	48	no	—
88	#41	—	2	48	no	—
89	#41	—	2	8	no	—
90	#41	—	2	24	no	—
91	#41	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
92	#41	C₂²×C₄	1	16	yes	—
93	#41	C₂²×C₄	1	16	yes	—
94	#41	C₂²×C₄	1	48	yes	complemented
95	#41	C₂×D₄	1	16	yes	—
96	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
97	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
98	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
99	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
100	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	complemented
101	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
103	C₂×D₄	—	2	48	no	—
104	C₂×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂×D₄	—	2	12	no	—
106	C₂×D₄	—	2	96	no	—
107	C₂×D₄	—	2	6	no	—
108	C₂×D₄	—	2	12	no	—
109	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
110	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	complemented
111	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
112	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
113	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
114	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
120	C₂²×C₄	—	8	6	no	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
127	M₁₆	—	2	8	no	—
128	M₁₆	—	2	24	no	—
129	C₂×C₈	—	2	24	no	—
130	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
131	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
135	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
136	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
137	C₄²	—	2	12	no	—
138	C₂³	—	2	4	no	—
139	C₂³	—	2	24	no	—
140	C₂³	—	4	3	no	—
141	C₂³	—	4	3	no	—
142	C₂³	—	8	6	no	—
143	C₂³	—	8	6	no	—
144	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
145	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
146	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	Q₈	—	2	24	no	—
148	Q₈	—	2	4	no	—
149	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
150	Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
151	D₄	—	2	16	no	—
152	D₄	—	2	48	no	—
153	D₄	—	2	24	no	—
154	D₄	—	2	4	no	—
155	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
156	D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄	—	2	24	no	—
158	C₂×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₄	—	2	48	no	—
161	C₂×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄	—	2	6	no	—
163	C₂×C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄	—	4	6	no	—
165	C₂×C₄	—	8	12	no	—
166	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
167	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
168	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
170	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
171	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
173	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
175	C₈	—	2	8	no	—
176	C₂²	—	2	1	no	—
177	C₂²	—	2	6	no	—
178	C₂²	—	2	1	no	—
179	C₂²	—	2	6	no	—
180	C₂²	—	2	8	no	—
181	C₂²	—	4	12	no	—
182	C₂²	—	4	4	no	—
183	C₂²	—	4	4	no	—
184	C₂²	—	8	24	no	—
185	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
186	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₄	—	2	8	no	—
189	C₄	—	4	6	no	—
190	C₄	—	4	2	no	—
191	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
193	C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂	—	2	2	no	—
196	C₂	—	2	12	no	—
197	C₂	—	4	8	no	—
198	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic
200	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator	C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#585	C₂
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#568	C₂	semidirect
3. C₂×#520	C₂	semidirect
4. #2898	C₂	semidirect
5. #2897	C₂	semidirect
6. #2896	C₂	semidirect
7. C₂×#417	C₂	semidirect
9. #585	C₄	semidirect
18. C₂×#131	C₂²	semidirect
19. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
21. #520	C₂²	semidirect
24. C₂×#117	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
26. #419	C₂²	semidirect
27. #418	C₂²	semidirect
28. #417	C₂²	semidirect
29. #417	C₂²	semidirect
30. #417	C₂²	semidirect
31. #416	C₂²	semidirect
32. C₂×#103	C₂²	semidirect
33. C₂×#102	C₂²	semidirect
36. 2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	semidirect
39. H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	semidirect
47. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
94. #41	C₂²×C₄	semidirect
100. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
110. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#585	2
C₂×#568	2
C₂×#520	2
#2898	2
#2897	2
#2896	2
C₂×#417	2