Subgroups — #60093

Order 256.

2426 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 208 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2901	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	C₂×#421	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
6	#585	—	2	4	no	—
7	#585	—	2	4	no	—
8	#585	C₄	1	8	yes	complemented
9	#585	C₂²	1	8	yes	—
10	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
11	C₂×2₋¹⁺⁴	C₄	1	4	yes	complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
13	C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂²×#41	—	2	4	no	—
15	C₂²×#41	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#568	—	2	4	no	—
18	#568	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×#131	—	2	4	no	—
20	C₂²×M₁₆	C₂²	1	6	yes	complemented
21	#520	—	2	4	no	—
22	#519	—	2	1	no	—
23	#518	—	2	3	no	—
24	C₄×#41	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#117	C₂²	1	6	yes	complemented
26	#421	C₂²	1	16	yes	complemented
27	#421	C₂²	1	48	yes	complemented
28	C₂×#104	C₂²	1	48	yes	complemented
29	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
30	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
31	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
32	2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
33	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
34	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
35	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
36	H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
37	C₂×#41	—	2	32	no	—
38	C₂×#41	—	2	32	no	—
39	C₂×#41	—	2	4	no	—
40	C₂×#41	—	2	12	no	—
41	C₂×#41	—	2	6	no	—
42	C₂×#41	—	2	6	no	—
43	C₂×#41	—	2	12	no	—
44	C₂×#41	—	2	12	no	—
45	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
48	C₂×#41	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
49	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
50	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×#41	C₂³	1	24	yes	—
54	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	complemented
57	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
60	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	complemented
61	C₂²×D₄	D₄	1	3	yes	—
62	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
63	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
64	#131	—	2	32	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
67	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×M₁₆	C₂³	1	24	yes	complemented
69	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
70	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
71	C₄×D₄	—	2	24	no	—
72	#117	—	2	6	no	—
73	#117	—	2	6	no	—
74	#117	C₂³	1	4	yes	—
75	#117	C₂³	1	12	yes	complemented
76	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
78	C₂×C₄²	C₂³	1	12	yes	complemented
79	#104	C₂³	1	64	yes	complemented
80	C₂⁴	—	2	6	no	—
81	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
82	#41	—	2	32	no	—
83	#41	—	2	96	no	—
84	#41	—	2	24	no	—
85	#41	—	2	24	no	—
86	#41	—	2	24	no	—
87	#41	—	2	4	no	—
88	#41	—	2	4	no	—
89	#41	—	2	24	no	—
90	#41	—	2	24	no	—
91	#41	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
92	#41	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
93	#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	#41	C₂²×C₄	1	48	yes	—
95	#41	C₂²×C₄	1	16	yes	—
96	#41	C₂×D₄	1	16	yes	—
97	#41	C₂⁴	1	8	yes	—
98	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
99	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
100	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
101	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
105	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂×D₄	—	2	12	no	—
107	C₂×D₄	—	2	24	no	—
108	C₂×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂×D₄	—	2	24	no	—
110	C₂×D₄	—	2	96	no	—
111	C₂×D₄	—	2	6	no	—
112	C₂×D₄	—	2	12	no	—
113	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
114	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
115	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
117	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
118	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	M₁₆	—	2	4	no	—
133	M₁₆	—	2	24	no	—
134	M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
135	C₂×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂×C₈	—	2	24	no	—
137	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
139	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
141	C₄²	—	2	12	no	—
142	C₄²	C₂⁴	1	8	yes	—
143	C₂³	—	2	4	no	—
144	C₂³	—	2	24	no	—
145	C₂³	—	8	3	no	—
146	C₂³	—	8	12	no	—
147	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
148	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
149	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂³	C₂²×D₄	1	6	yes	—
151	Q₈	—	2	24	no	—
152	Q₈	—	2	4	no	—
153	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
154	Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
155	D₄	—	2	48	no	—
156	D₄	—	2	8	no	—
157	D₄	—	2	8	no	—
158	D₄	—	2	24	no	—
159	D₄	—	2	4	no	—
160	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
161	D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	24	no	—
164	C₂×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄	—	2	48	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄	—	8	12	no	—
169	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
170	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
171	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
172	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
173	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
176	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
177	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
180	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
182	C₈	—	2	8	no	—
183	C₂²	—	2	8	no	—
184	C₂²	—	4	6	no	—
185	C₂²	—	4	6	no	—
186	C₂²	—	4	1	no	—
187	C₂²	—	4	6	no	—
188	C₂²	—	4	8	no	—
189	C₂²	—	8	24	no	—
190	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
192	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₄	—	2	8	no	—
195	C₄	—	4	8	no	—
196	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
198	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂	—	2	1	no	—
202	C₂	—	2	1	no	—
203	C₂	—	2	1	no	—
204	C₂	—	2	12	no	—
205	C₂	—	4	8	no	—
206	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	C₂³×D₄
commutator	C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂	C₂³×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#585	C₂
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#568	C₂	semidirect
3. #3428	C₂	semidirect
4. #2901	C₂	semidirect
5. C₂×#421	C₂	semidirect
8. #585	C₄	semidirect
11. C₂×2₋¹⁺⁴	C₄	semidirect
13. C₂×H(5,𝔽₂)	C₄	semidirect
18. #568	C₂²	semidirect
20. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
24. C₄×#41	C₂²	semidirect
25. C₂×#117	C₂²	semidirect
26. #421	C₂²	semidirect
27. #421	C₂²	semidirect
28. C₂×#104	C₂²	semidirect
32. 2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	semidirect
36. H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	semidirect
47. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
48. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
56. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
60. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
75. #117	C₂³	semidirect
78. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
79. #104	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#585	2
C₂×#568	2
#3428	2
#2901	2
C₂×#421	2