Subgroups — #60099

Order 256.

1369 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 124 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#568	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2906	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#2905	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	C₂×#423	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	#568	—	2	16	no	—
8	C₂×#131	C₂²	1	16	yes	—
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	12	yes	—
10	C₄×#41	C₄	1	4	yes	—
11	C₄×#41	C₄	1	4	yes	—
12	C₄×#41	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	6	yes	—
15	C₂×#117	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
17	#424	C₂²	1	48	yes	complemented
18	#423	C₂²	1	4	yes	—
19	#423	C₂²	1	12	yes	—
20	#423	C₂²	1	24	yes	complemented
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	24	yes	complemented
22	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
23	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
24	C₂×#41	Q₈	1	8	yes	—
25	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
26	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
28	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
29	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
30	#131	—	2	64	no	—
31	C₂×M₁₆	—	2	48	no	—
32	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
33	C₂×M₁₆	C₂³	1	24	yes	—
34	C₂²×C₈	C₂³	1	24	yes	—
35	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
38	C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
39	#117	C₂×C₄	1	12	yes	—
40	#117	C₂³	1	12	yes	—
41	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
42	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
43	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
44	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
45	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
46	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
47	C₂×C₄²	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
50	C₄⋊C₈	C₂³	1	48	yes	—
51	C₂⁴	C₂²×C₄	1	3	yes	—
52	#41	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
53	#41	C₂×D₄	1	16	yes	—
54	#41	C₂×Q₈	1	16	yes	—
55	C₂×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
56	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×D₄	C₄⋊C₄	1	24	yes	—
58	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
59	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
60	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
62	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
63	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
64	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
65	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
66	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
67	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	12	yes	—
68	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
70	M₁₆	—	2	16	no	—
71	M₁₆	—	2	48	no	—
72	C₂×C₈	—	2	48	no	—
73	C₂×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
74	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
75	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
76	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
79	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
80	C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
81	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
82	C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
83	C₂³	—	4	6	no	—
84	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
85	C₂³	C₂³×C₄	1	6	yes	—
86	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
87	Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
88	D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	48	yes	—
89	C₂×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄	—	2	24	no	—
91	C₂×C₄	—	4	12	no	—
92	C₂×C₄	—	4	6	no	—
93	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
94	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	24	yes	—
95	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
97	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
99	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
101	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	12	yes	—
104	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
105	C₈	—	2	16	no	—
106	C₂²	—	2	2	no	—
107	C₂²	—	2	12	no	—
108	C₂²	—	4	12	no	—
109	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
111	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄	—	2	2	no	—
113	C₄	—	2	12	no	—
114	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	12	yes	—
116	C₄	#568	1	4	yes	complemented
117	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂	—	2	2	no	—
120	C₂	—	2	12	no	—
121	C₂	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂	C₂×#568	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #2906	C₂	semidirect
4. #2905	C₂	semidirect
5. C₂×#423	C₂	semidirect
17. #424	C₂²	semidirect
20. #423	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
116. C₄	#568	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#568	2
C₂×C₄×#41	2
#2906	2
#2905	2
C₂×#423	2