Subgroups — #60123

Order 256.

1061 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 182 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2923	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#2922	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#2921	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2920	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2905	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2879	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
11	C₄×#41	C₄	1	8	yes	—
12	C₄×#41	C₂²	1	4	yes	—
13	C₄×#41	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
21	#433	C₂²	1	32	yes	complemented
22	#432	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#431	C₂²	1	16	yes	complemented
24	#424	C₂²	1	16	yes	complemented
25	#423	C₂²	1	8	yes	—
26	#408	C₂²	1	16	yes	—
27	#407	C₂²	1	8	yes	—
28	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#97	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#41	—	2	8	no	—
35	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
45	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂²×C₈	C₂³	1	8	yes	—
48	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
51	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₄×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#117	C₂³	1	4	yes	—
57	#117	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
74	C₂²⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
75	#97	C₂³	1	8	yes	—
76	#97	C₂³	1	8	yes	—
77	C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
78	C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	#41	—	2	16	no	—
82	#41	—	2	16	no	—
83	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
84	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
88	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
90	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
91	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
107	M₁₆	—	2	16	no	—
108	M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×C₈	—	2	16	no	—
110	C₂×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
111	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
112	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
113	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
114	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
119	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
123	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
125	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂³	—	2	4	no	—
127	C₂³	—	4	2	no	—
128	C₂³	—	4	4	no	—
129	C₂³	#117	1	4	yes	—
130	C₂³	C₂³×C₄	1	4	yes	—
131	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
133	Q₈	—	2	8	no	—
134	D₄	—	2	16	no	—
135	D₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
147	C₂×C₄	#117	1	8	yes	—
148	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
156	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
157	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
158	C₈	—	2	16	no	—
159	C₂²	—	2	2	no	—
160	C₂²	—	2	4	no	—
161	C₂²	—	2	4	no	—
162	C₂²	—	2	8	no	—
163	C₂²	—	4	4	no	—
164	C₂²	—	4	8	no	—
165	C₂²	C₂×#117	1	2	yes	—
166	C₂²	C₂×#117	1	4	yes	—
167	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄	—	2	4	no	—
169	C₄	—	2	2	no	—
170	C₄	—	2	4	no	—
171	C₄	—	2	8	no	—
172	C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
173	C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
174	C₄	#568	1	4	yes	—
175	C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
176	C₂	—	2	2	no	—
177	C₂	—	2	4	no	—
178	C₂	—	4	4	no	—
179	C₂	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
180	C₂	C₂×#568	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₄²	C₂⁴
commutator, socle	C₂²	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2923	C₂	semidirect
3. #2922	C₂	semidirect
4. #2921	C₂	semidirect
5. #2920	C₂	semidirect
6. #2905	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
21. #433	C₂²	semidirect
22. #432	C₂²	semidirect
23. #431	C₂²	semidirect
24. #424	C₂²	semidirect
30. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
31. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
32. C₂×#97	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
#2923	2
#2922	2
#2921	2
#2920	2
#2905	2
#2879	2
C₂×C₄×M₁₆	2