Subgroups — #60124

Order 256.

1099 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 187 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2924	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
3	#2921	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2920	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2905	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#407	C₂	1	2	yes	maximal
7	#2873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#117	C₄	1	8	yes	—
11	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#117	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
20	#433	C₂²	1	32	yes	complemented
21	#432	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#431	C₂²	1	16	yes	complemented
23	#424	C₂²	1	16	yes	complemented
24	#423	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#407	C₂²	1	4	yes	—
26	#407	C₂²	1	4	yes	—
27	#407	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
29	#405	C₂²	1	16	yes	complemented
30	C₄×M₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
43	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
44	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	8	yes	—
46	#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
49	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#117	C₂³	1	4	yes	—
52	#117	C₂³	1	4	yes	—
53	#117	C₂³	1	8	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
68	C₄⋊C₈	C₂³	1	32	yes	complemented
69	C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
71	#97	C₂³	1	16	yes	complemented
72	C₄×C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
73	C₂⁴	—	2	4	no	—
74	C₂⁴	—	4	4	no	—
75	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄	#41	1	8	yes	—
101	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
105	M₁₆	—	2	16	no	—
106	M₁₆	—	2	16	no	—
107	C₂×C₈	—	2	16	no	—
108	C₂×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
109	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
110	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
112	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
113	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
116	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
120	C₂³	—	2	2	no	—
121	C₂³	—	2	4	no	—
122	C₂³	—	2	8	no	—
123	C₂³	—	2	2	no	—
124	C₂³	—	2	8	no	—
125	C₂³	—	4	2	no	—
126	C₂³	—	4	4	no	—
127	C₂³	—	4	2	no	—
128	C₂³	—	4	16	no	—
129	C₂³	#117	1	4	yes	—
130	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
131	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³	C₂³×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄	#117	1	4	yes	—
148	C₂×C₄	#117	1	8	yes	—
149	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
151	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
156	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
157	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
158	C₈	—	2	16	no	—
159	C₂²	—	2	8	no	—
160	C₂²	—	2	2	no	—
161	C₂²	—	2	2	no	—
162	C₂²	—	2	2	no	—
163	C₂²	—	2	4	no	—
164	C₂²	—	2	2	no	—
165	C₂²	—	2	4	no	—
166	C₂²	—	4	4	no	—
167	C₂²	—	4	16	no	—
168	C₂²	—	4	4	no	—
169	C₂²	C₂×#117	1	2	yes	—
170	C₂²	C₂×#117	1	4	yes	—
171	C₂²	#568	1	4	yes	—
172	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄	—	2	2	no	—
174	C₄	—	2	2	no	—
175	C₄	—	2	8	no	—
176	C₄	—	2	8	no	—
177	C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
178	C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
179	C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
180	C₂	—	2	2	no	—
181	C₂	—	2	4	no	—
182	C₂	—	2	4	no	—
183	C₂	—	4	2	no	—
184	C₂	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
185	C₂	C₂×#568	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2924	C₂	semidirect
3. #2921	C₂	semidirect
4. #2920	C₂	semidirect
5. #2905	C₂	semidirect
7. #2873	C₂	semidirect
20. #433	C₂²	semidirect
21. #432	C₂²	semidirect
22. #431	C₂²	semidirect
23. #424	C₂²	semidirect
24. #423	C₂²	semidirect
29. #405	C₂²	semidirect
30. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
68. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
71. #97	C₂³	semidirect
72. C₄×C₈	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#117	2
#2924	2
#2921	2
#2920	2
#2905	2
C₂×#407	2
#2873	2