Subgroups — #60168

Order 256.

1441 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 314 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2949	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2948	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2946	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#2911	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#520	—	2	2	no	—
22	#520	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#519	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#518	—	2	2	no	—
25	#518	—	2	2	no	—
26	#518	—	2	2	no	—
27	#518	C₂²	1	4	yes	—
28	#518	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#518	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₄×#41	—	2	2	no	—
31	C₄×#41	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#117	—	2	2	no	—
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
39	#442	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#440	C₂²	1	16	yes	complemented
41	C₄×SD₁₆	C₂²	1	16	yes	complemented
42	C₄×D₈	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#427	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#418	C₂²	1	4	yes	—
48	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
52	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#405	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#405	C₂²	1	4	yes	complemented
55	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
56	C₂⁵	—	2	1	no	—
57	C₂×#41	—	2	1	no	—
58	C₂×#41	—	2	1	no	—
59	C₂×#41	—	2	4	no	—
60	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
65	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
78	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
79	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
80	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
81	C₂×D₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
82	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
84	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
85	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
92	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	complemented
93	C₄×D₄	—	2	8	no	—
94	C₄×D₄	—	2	8	no	—
95	C₄×D₄	—	2	8	no	—
96	C₄×D₄	—	2	4	no	—
97	C₄×D₄	—	2	8	no	—
98	C₄×D₄	—	2	8	no	—
99	C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
100	C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	complemented
101	#117	—	2	1	no	—
102	#117	—	2	1	no	—
103	#117	—	2	1	no	—
104	#117	—	2	1	no	—
105	#117	—	2	4	no	—
106	#117	—	2	4	no	—
107	#117	—	2	4	no	—
108	#117	D₄	1	2	yes	—
109	#117	D₄	1	2	yes	—
110	#117	C₂³	1	2	yes	—
111	#117	C₂³	1	2	yes	—
112	#117	C₂³	1	2	yes	—
113	#117	C₂³	1	2	yes	—
114	#117	C₂³	1	2	yes	—
115	#117	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	#107	C₂³	1	8	yes	complemented
132	#106	C₂³	1	8	yes	complemented
133	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
134	#102	C₂³	1	16	yes	—
135	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
136	#97	C₂³	1	8	yes	complemented
137	C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
138	C₂⁴	—	2	2	no	—
139	C₂⁴	—	2	8	no	—
140	C₂⁴	—	2	1	no	—
141	C₂⁴	—	2	2	no	—
142	C₂⁴	—	2	2	no	—
143	C₂⁴	—	8	4	no	—
144	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	#41	—	2	8	no	—
146	#41	—	2	8	no	—
147	#41	—	2	4	no	—
148	#41	—	2	4	no	—
149	#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	#41	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
151	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
154	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	—	2	8	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×D₄	—	2	2	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	1	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	2	no	—
169	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
170	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
171	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
172	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
173	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
184	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
194	D₈	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
195	M₁₆	—	2	4	no	—
196	M₁₆	—	2	4	no	—
197	M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
198	M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	complemented
201	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
207	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	8	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	2	2	no	—
223	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂³	—	2	8	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	4	2	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	8	2	no	—
234	C₂³	—	8	4	no	—
235	C₂³	—	8	4	no	—
236	C₂³	—	8	16	no	—
237	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
238	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	Q₈	—	2	4	no	—
242	Q₈	—	2	2	no	—
243	Q₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
244	D₄	—	2	8	no	—
245	D₄	—	2	8	no	—
246	D₄	—	2	8	no	—
247	D₄	—	2	8	no	—
248	D₄	—	2	8	no	—
249	D₄	—	2	4	no	—
250	D₄	—	2	4	no	—
251	D₄	—	2	2	no	—
252	D₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
253	D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	8	8	no	—
263	C₂×C₄	—	8	16	no	—
264	C₂×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
279	C₈	—	2	4	no	—
280	C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	8	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	—	4	16	no	—
288	C₂²	—	4	8	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	8	4	no	—
291	C₂²	—	8	8	no	—
292	C₂²	—	8	8	no	—
293	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄	—	2	8	no	—
298	C₄	—	2	4	no	—
299	C₄	—	4	4	no	—
300	C₄	—	4	4	no	—
301	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
302	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
303	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
304	C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
306	C₂	—	2	2	no	—
307	C₂	—	2	2	no	—
308	C₂	—	2	2	no	—
309	C₂	—	4	8	no	—
310	C₂	—	4	4	no	—
311	C₂	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#3585	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator	C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3428	C₂	semidirect
3. C₂×#518	C₂	semidirect
4. #2949	C₂	semidirect
5. #2948	C₂	semidirect
6. #2946	C₂	semidirect
7. C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
8. #2911	C₂	semidirect
9. #2896	C₂	semidirect
10. C₂×#418	C₂	semidirect
11. #2873	C₂	semidirect
14. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
22. #520	C₂²	semidirect
23. #519	C₂²	semidirect
28. #518	C₂²	semidirect
29. #518	C₂²	semidirect
31. C₄×#41	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
39. #442	C₂²	semidirect
40. #440	C₂²	semidirect
41. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
42. C₄×D₈	C₂²	semidirect
43. #428	C₂²	semidirect
44. #428	C₂²	semidirect
45. #427	C₂²	semidirect
46. #419	C₂²	semidirect
48. #418	C₂²	semidirect
49. #418	C₂²	semidirect
50. #417	C₂²	semidirect
51. #416	C₂²	semidirect
52. C₂×#102	C₂²	semidirect
53. #405	C₂²	semidirect
54. #405	C₂²	semidirect
55. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
60. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
69. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
77. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
78. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect
79. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
81. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
92. C₄×Q₈	C₂³	semidirect
100. C₄×D₄	C₂³	semidirect
131. #107	C₂³	semidirect
132. #106	C₂³	semidirect
133. #103	C₂³	semidirect
135. #102	C₂³	semidirect
136. #97	C₂³	semidirect
137. C₄×C₈	C₂³	semidirect
150. #41	C₂²×C₄	semidirect
153. C₂×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
172. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
193. SD₁₆	C₂²×C₄	semidirect
194. D₈	C₂²×C₄	semidirect
198. M₁₆	C₂²×C₄	semidirect
200. C₂×C₈	C₂²×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
#3428	2
C₂×#518	2
#2949	2
#2948	2
#2946	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2
#2911	2
#2896	2
C₂×#418	2
#2873	2