Subgroups — #60248

Order 256.

987 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 157 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2984	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#2983	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#2982	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	Q₈×M₁₆	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2920	C₂	1	6	yes	maximal
7	C₂³×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	4	yes	—
9	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	3	yes	—
11	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	3	yes	—
17	C₂²×C₄²	C₂²	1	3	yes	—
18	#446	C₂²	1	48	yes	complemented
19	C₈×Q₈	C₂²	1	16	yes	complemented
20	#432	C₂²	1	12	yes	—
21	#432	C₂²	1	12	yes	—
22	#431	C₂²	1	12	yes	—
23	#431	C₂²	1	12	yes	—
24	#423	C₂²	1	12	yes	—
25	#407	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×M₁₆	C₂²	1	12	yes	—
27	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
28	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
31	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
36	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
37	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
38	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
39	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₄×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
44	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
46	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
49	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
50	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
51	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
52	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	3	yes	—
53	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
55	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
57	C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
58	C₄⋊C₈	C₂³	1	24	yes	—
59	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
61	#97	C₂³	1	24	yes	—
62	C₄×C₈	C₂³	1	24	yes	—
63	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
65	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
66	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
67	C₂×Q₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
68	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
69	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
71	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
73	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
80	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	M₁₆	—	2	16	no	—
88	C₂×C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
89	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
90	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
91	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
92	C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
93	C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
94	C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
95	C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
96	C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
97	C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
98	C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
99	C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
100	C₂³	—	2	2	no	—
101	C₂³	—	2	2	no	—
102	C₂³	—	2	2	no	—
103	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
106	Q₈	—	2	24	no	—
107	Q₈	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
108	C₂×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄	—	2	6	no	—
110	C₂×C₄	—	2	12	no	—
111	C₂×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄	—	2	12	no	—
114	C₂×C₄	—	2	12	no	—
115	C₂×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄	—	4	6	no	—
118	C₂×C₄	—	4	3	no	—
119	C₂×C₄	—	4	3	no	—
120	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	12	yes	—
121	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
124	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
125	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
126	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
128	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
129	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
130	C₈	—	2	16	no	—
131	C₂²	—	2	8	no	—
132	C₂²	—	2	1	no	—
133	C₂²	—	2	1	no	—
134	C₂²	—	2	1	no	—
135	C₂²	—	2	1	no	—
136	C₂²	—	2	1	no	—
137	C₂²	—	2	1	no	—
138	C₂²	#519	1	2	yes	—
139	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
140	C₂²	#568	1	2	yes	—
141	C₂²	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₄	—	2	1	no	—
143	C₄	—	2	1	no	—
144	C₄	—	2	6	no	—
145	C₄	—	2	6	no	—
146	C₄	—	2	6	no	—
147	C₄	#519	1	2	yes	—
148	C₄	C₂²×M₁₆	1	12	yes	—
149	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
150	C₂	—	2	2	no	—
151	C₂	—	2	2	no	—
152	C₂	—	2	2	no	—
153	C₂	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
154	C₂	C₂³×M₁₆	1	1	yes	characteristic
155	C₂	C₂×#568	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
commutator, socle	C₂²	C₂⁴×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2984	C₂	semidirect
3. #2983	C₂	semidirect
4. #2982	C₂	semidirect
5. Q₈×M₁₆	C₂	semidirect
18. #446	C₂²	semidirect
19. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
67. C₂×Q₈	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
#2984	2
#2983	2
#2982	2
Q₈×M₁₆	2
#2920	2