Subgroups — C₂×#3008 #60360

Order 256.

2627 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3008	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#447	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
13	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
14	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#41	—	2	1	no	—
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
20	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
21	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
25	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
28	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂²×D₈	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#535	—	2	4	no	—
34	#535	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂×#127	—	2	1	no	—
36	C₂×#124	—	2	1	no	—
37	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂×#120	—	2	2	no	—
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#449	C₂²	1	32	yes	complemented
41	#447	C₂²	1	32	yes	complemented
42	#418	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
44	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#408	C₂²	1	8	yes	complemented
48	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
49	C₂⁵	—	2	1	no	—
50	C₂⁵	—	2	2	no	—
51	C₂⁵	—	2	1	no	—
52	H(5,𝔽₂)	—	2	64	no	—
53	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
54	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
55	C₂×#41	—	2	16	no	—
56	C₂×#41	—	2	8	no	—
57	C₂×#41	—	2	8	no	—
58	C₂×#41	—	2	8	no	—
59	C₂×#41	—	2	4	no	—
60	C₂×#41	—	2	2	no	—
61	C₂×#41	—	2	4	no	—
62	C₂×#41	—	2	4	no	—
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
66	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	complemented
69	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
97	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	complemented
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
105	C₂×D₈	—	2	16	no	—
106	C₂×D₈	—	2	8	no	—
107	C₂×D₈	—	2	32	no	—
108	C₂×D₈	C₂³	1	16	yes	complemented
109	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	complemented
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
116	#127	—	2	8	no	—
117	#124	—	2	8	no	—
118	#121	—	2	8	no	—
119	#121	C₂³	1	16	yes	complemented
120	#120	—	2	16	no	—
121	#117	—	2	2	no	—
122	#117	C₂³	1	4	yes	complemented
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
127	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
128	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
129	#102	C₂³	1	16	yes	complemented
130	C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
131	C₂⁴	—	2	16	no	—
132	C₂⁴	—	2	1	no	—
133	C₂⁴	—	2	2	no	—
134	C₂⁴	—	2	8	no	—
135	C₂⁴	—	2	4	no	—
136	C₂⁴	—	2	8	no	—
137	C₂⁴	—	2	2	no	—
138	C₂⁴	—	2	4	no	—
139	C₂⁴	—	4	4	no	—
140	C₂⁴	—	8	4	no	—
141	C₂⁴	—	8	4	no	—
142	C₂⁴	—	8	8	no	—
143	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	#41	—	2	64	no	—
146	#41	—	2	32	no	—
147	#41	—	2	16	no	—
148	#41	—	2	16	no	—
149	#41	—	2	16	no	—
150	#41	—	2	16	no	—
151	#41	—	2	8	no	—
152	#41	—	2	8	no	—
153	#41	—	2	8	no	—
154	#41	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
155	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
158	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂×D₄	—	2	16	no	—
162	C₂×D₄	—	2	16	no	—
163	C₂×D₄	—	2	128	no	—
164	C₂×D₄	—	2	64	no	—
165	C₂×D₄	—	2	32	no	—
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	8	no	—
170	C₂×D₄	—	2	16	no	—
171	C₂×D₄	—	2	16	no	—
172	C₂×D₄	—	2	16	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	16	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	—	2	1	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	8	8	no	—
192	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
196	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
197	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	SD₁₆	—	2	16	no	—
218	D₈	—	2	32	no	—
219	D₈	—	2	16	no	—
220	M₁₆	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	32	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	8	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	8	no	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	16	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	4	8	no	—
242	C₂³	—	4	4	no	—
243	C₂³	—	4	8	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	—	4	8	no	—
246	C₂³	—	8	16	no	—
247	C₂³	—	8	8	no	—
248	C₂³	—	8	8	no	—
249	C₂³	—	8	16	no	—
250	C₂³	—	8	16	no	—
251	C₂³	—	8	32	no	—
252	C₂³	#120	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	2	4	no	—
257	Q₈	—	2	8	no	—
258	Q₈	—	2	2	no	—
259	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	D₄	—	2	32	no	—
261	D₄	—	2	32	no	—
262	D₄	—	2	16	no	—
263	D₄	—	2	16	no	—
264	D₄	—	2	8	no	—
265	D₄	—	2	4	no	—
266	D₄	—	2	8	no	—
267	D₄	—	2	16	no	—
268	D₄	—	2	4	no	—
269	D₄	—	2	2	no	—
270	D₄	—	2	4	no	—
271	D₄	—	2	4	no	—
272	D₄	—	4	4	no	—
273	D₄	—	4	8	no	—
274	D₄	—	8	16	no	—
275	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
276	D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
277	C₂×C₄	—	2	32	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#120	1	8	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	C₈	—	2	4	no	—
298	C₈	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	8	no	—
300	C₂²	—	2	4	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	8	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	2	8	no	—
305	C₂²	—	4	8	no	—
306	C₂²	—	4	16	no	—
307	C₂²	—	4	8	no	—
308	C₂²	—	4	8	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	8	16	no	—
313	C₂²	—	8	16	no	—
314	C₂²	—	8	32	no	—
315	C₂²	—	8	8	no	—
316	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
317	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
318	C₂²	#576	1	4	yes	—
319	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	4	4	no	—
323	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
324	C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
325	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂	—	2	4	no	—
328	C₂	—	4	4	no	—
329	C₂	—	4	8	no	—
330	C₂	—	4	4	no	—
331	C₂	—	8	4	no	—
332	C₂	#3008	1	4	yes	direct product factor
333	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₂×#576	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
3. C₂³×D₈	C₂	semidirect
4. C₂×#535	C₂	semidirect
5. #3008	C₂	direct (N × H)
6. C₂×#449	C₂	semidirect
7. C₂×#447	C₂	semidirect
8. C₂×#418	C₂	semidirect
9. C₂×#416	C₂	semidirect
10. C₂×#408	C₂	semidirect
14. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
18. C₂²×#41	C₂²	semidirect
22. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
23. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
25. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
26. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
28. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
29. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
30. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
31. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
32. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
34. #535	C₂²	semidirect
37. C₂×#121	C₂²	semidirect
39. C₂×#117	C₂²	semidirect
40. #449	C₂²	semidirect
41. #447	C₂²	semidirect
42. #418	C₂²	semidirect
43. #416	C₂²	semidirect
44. C₂×#103	C₂²	semidirect
45. C₂×#102	C₂²	semidirect
46. C₂×#102	C₂²	semidirect
47. #408	C₂²	semidirect
48. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
65. C₂×#41	D₄	semidirect
68. C₂×#41	C₂³	semidirect
91. C₂²×D₄	D₄	semidirect
96. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
97. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
104. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
108. C₂×D₈	C₂³	semidirect
109. C₂×D₈	C₂³	semidirect
111. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
115. C₂²×C₈	C₂³	semidirect
119. #121	C₂³	semidirect
122. #117	C₂³	semidirect
127. #103	C₂³	semidirect
128. #102	C₂³	semidirect
129. #102	C₂³	semidirect
130. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
154. #41	C₂×D₄	semidirect
196. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
332. C₂	#3008	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(5,𝔽₂)	2
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂³×D₈	2
C₂×#535	2
#3008	2
C₂×#449	2
C₂×#447	2
C₂×#418	2
C₂×#416	2
C₂×#408	2

Subgroups — C2×#3008 #60360

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#3008 #60360