Subgroups — #60369

Order 256.

2469 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 289 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3010	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#3008	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3006	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#585	—	2	16	no	—
10	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
11	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	4	yes	complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
13	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
14	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂²×#41	—	2	4	no	—
16	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
21	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#535	—	2	4	no	—
27	#535	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#127	—	2	1	no	—
29	C₂×#124	—	2	1	no	—
30	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#120	—	2	2	no	—
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#449	C₂²	1	32	yes	complemented
34	#448	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#447	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#417	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#408	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
42	C₂⁵	—	2	1	no	—
43	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
44	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
45	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
46	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
47	H(5,𝔽₂)	—	2	32	no	—
48	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
49	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
50	C₂×#41	—	2	64	no	—
51	C₂×#41	—	2	32	no	—
52	C₂×#41	—	2	4	no	—
53	C₂×#41	—	2	8	no	—
54	C₂×#41	—	2	4	no	—
55	C₂×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×#41	—	2	4	no	—
57	C₂×#41	—	2	2	no	—
58	C₂×#41	—	2	8	no	—
59	C₂×#41	—	2	8	no	—
60	C₂×#41	—	2	4	no	—
61	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×#41	D₄	1	16	yes	complemented
63	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	complemented
67	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
68	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
71	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
90	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
91	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
92	C₂×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
93	C₂×D₈	—	2	16	no	—
94	C₂×D₈	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
99	#127	—	2	8	no	—
100	#124	—	2	8	no	—
101	#121	—	2	8	no	—
102	#121	C₂³	1	16	yes	—
103	#120	—	2	16	no	—
104	#117	—	2	2	no	—
105	#117	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
110	#103	C₂³	1	16	yes	complemented
111	#102	C₂³	1	16	yes	complemented
112	C₂²⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	—	4	4	no	—
118	C₂⁴	—	8	4	no	—
119	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	#41	—	2	32	no	—
122	#41	—	2	64	no	—
123	#41	—	2	32	no	—
124	#41	—	2	32	no	—
125	#41	—	2	32	no	—
126	#41	—	2	16	no	—
127	#41	—	2	16	no	—
128	#41	—	2	16	no	—
129	#41	—	2	16	no	—
130	#41	—	2	16	no	—
131	#41	—	2	8	no	—
132	#41	—	2	8	no	—
133	#41	—	2	8	no	—
134	#41	—	2	8	no	—
135	#41	C₂×D₄	1	16	yes	—
136	#41	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
137	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
145	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂×D₄	—	2	32	no	—
147	C₂×D₄	—	2	64	no	—
148	C₂×D₄	—	2	32	no	—
149	C₂×D₄	—	2	16	no	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	8	no	—
154	C₂×D₄	—	2	16	no	—
155	C₂×D₄	—	2	16	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	2	4	no	—
160	C₂×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×D₄	—	2	8	no	—
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	4	8	no	—
166	C₂×D₄	—	4	4	no	—
167	C₂×D₄	—	8	8	no	—
168	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
171	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
190	SD₁₆	—	2	32	no	—
191	D₈	—	2	32	no	—
192	M₁₆	—	2	8	no	—
193	M₁₆	—	2	8	no	—
194	C₂×C₈	—	2	8	no	—
195	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
196	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
200	C₄²	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	16	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	4	no	—
204	C₂³	—	2	8	no	—
205	C₂³	—	2	4	no	—
206	C₂³	—	4	2	no	—
207	C₂³	—	4	4	no	—
208	C₂³	—	4	8	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	4	8	no	—
211	C₂³	—	8	4	no	—
212	C₂³	—	8	8	no	—
213	C₂³	—	8	8	no	—
214	C₂³	—	8	16	no	—
215	C₂³	#120	1	4	yes	—
216	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
217	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	2	16	no	—
220	Q₈	—	2	8	no	—
221	Q₈	—	2	8	no	—
222	Q₈	—	2	4	no	—
223	Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
224	D₄	—	2	32	no	—
225	D₄	—	2	16	no	—
226	D₄	—	2	16	no	—
227	D₄	—	2	16	no	—
228	D₄	—	2	16	no	—
229	D₄	—	2	8	no	—
230	D₄	—	2	8	no	—
231	D₄	—	2	4	no	—
232	D₄	—	2	8	no	—
233	D₄	—	4	4	no	—
234	D₄	—	4	8	no	—
235	D₄	—	8	16	no	—
236	D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
237	C₂×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂×C₄	—	2	32	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	16	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	#120	1	8	yes	—
249	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	C₈	—	2	8	no	—
258	C₂²	—	2	2	no	—
259	C₂²	—	2	4	no	—
260	C₂²	—	2	8	no	—
261	C₂²	—	2	4	no	—
262	C₂²	—	2	8	no	—
263	C₂²	—	4	4	no	—
264	C₂²	—	4	8	no	—
265	C₂²	—	4	8	no	—
266	C₂²	—	4	4	no	—
267	C₂²	—	8	4	no	—
268	C₂²	—	8	8	no	—
269	C₂²	—	8	8	no	—
270	C₂²	—	8	16	no	—
271	C₂²	—	8	16	no	—
272	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
273	C₂²	C₂×#120	1	2	yes	—
274	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₄	—	2	8	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	4	4	no	—
278	C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
279	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
280	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
281	C₂	—	2	2	no	—
282	C₂	—	2	4	no	—
283	C₂	—	4	4	no	—
284	C₂	—	4	8	no	—
285	C₂	—	8	4	no	—
286	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#3585	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#585	C₂	semidirect
2. C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
3. C₂×#535	C₂	semidirect
4. #3010	C₂	semidirect
5. #3008	C₂	semidirect
6. #3006	C₂	semidirect
7. #2896	C₂	semidirect
8. #2879	C₂	semidirect
11. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
14. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
18. C₂²×#41	C₂²	semidirect
19. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
21. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
22. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
23. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
24. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
25. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
27. #535	C₂²	semidirect
30. C₂×#121	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. #449	C₂²	semidirect
34. #448	C₂²	semidirect
35. #447	C₂²	semidirect
36. #419	C₂²	semidirect
37. #418	C₂²	semidirect
38. #417	C₂²	semidirect
39. #416	C₂²	semidirect
40. #408	C₂²	semidirect
41. #407	C₂²	semidirect
62. C₂×#41	D₄	semidirect
66. C₂×#41	C₂³	semidirect
70. C₂²×Q₈	C₂³	semidirect
84. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
110. #103	C₂³	semidirect
111. #102	C₂³	semidirect
112. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
136. #41	C₂×D₄	semidirect
144. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
170. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#585	2
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#535	2
#3010	2
#3008	2
#3006	2
#2896	2
#2879	2