Subgroups — #60372

Order 256.

2563 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#576	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3488	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3012	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#3008	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#3006	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#3003	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#3002	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×#447	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#2897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2880	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
13	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
14	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
15	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	6	yes	complemented
17	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×#41	—	2	1	no	—
19	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	complemented
21	C₂³×D₄	—	2	3	no	—
22	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
23	#576	—	2	16	no	—
24	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	6	yes	complemented
26	C₂×#135	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂²×D₈	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#550	—	2	1	no	—
30	#548	—	2	1	no	—
31	#546	—	2	3	no	—
32	D₄²	—	2	3	no	—
33	#537	C₂²	1	3	yes	complemented
34	#535	C₂²	1	3	yes	complemented
35	#525	C₂²	1	3	yes	complemented
36	C₂×#121	C₂²	1	3	yes	complemented
37	#520	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#452	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#451	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#450	C₂²	1	3	yes	complemented
41	#450	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#449	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#449	C₂²	1	12	yes	complemented
44	#448	C₂²	1	3	yes	complemented
45	#447	C₂²	1	3	yes	complemented
46	#447	C₂²	1	6	yes	complemented
47	#447	C₂²	1	12	yes	complemented
48	#447	C₂²	1	6	yes	complemented
49	#418	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#417	C₂²	1	6	yes	complemented
51	#416	C₂²	1	6	yes	complemented
52	C₂×#102	C₂²	1	6	yes	complemented
53	#408	C₂²	1	6	yes	complemented
54	#407	C₂²	1	3	yes	complemented
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	3	yes	complemented
56	C₂⁵	—	2	3	no	—
57	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
58	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
59	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
60	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
61	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
62	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
63	H(5,𝔽₂)	D₄	1	16	yes	complemented
64	C₂×#41	—	2	16	no	—
65	C₂×#41	—	2	8	no	—
66	C₂×#41	—	2	24	no	—
67	C₂×#41	—	2	2	no	—
68	C₂×#41	—	2	6	no	—
69	C₂×#41	—	2	1	no	—
70	C₂×#41	—	2	3	no	—
71	C₂×#41	—	2	3	no	—
72	C₂×#41	D₄	1	3	yes	—
73	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#41	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×#41	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
77	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	complemented
79	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	—	2	48	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
92	C₂²×D₄	D₄	1	3	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	complemented
97	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
99	AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
100	AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
101	#135	—	2	24	no	—
102	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	complemented
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	complemented
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	complemented
105	C₂×D₈	—	2	24	no	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	6	yes	complemented
107	C₂×D₈	C₂³	1	12	yes	complemented
108	#131	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	6	yes	complemented
110	C₂²×C₈	C₂³	1	6	yes	complemented
111	#127	—	2	3	no	—
112	#124	—	2	3	no	—
113	#123	—	2	3	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
115	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	complemented
117	#121	—	2	6	no	—
118	#121	—	2	3	no	—
119	#121	—	2	3	no	—
120	#121	—	2	3	no	—
121	#121	C₂³	1	3	yes	—
122	#121	C₂³	1	6	yes	complemented
123	#121	C₂³	1	3	yes	complemented
124	#120	—	2	3	no	—
125	#120	—	2	6	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₄×D₄	—	2	3	no	—
128	C₄×D₄	—	2	3	no	—
129	C₄×D₄	—	2	3	no	—
130	#117	C₂³	1	3	yes	complemented
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	complemented
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
133	#103	C₂³	1	2	yes	complemented
134	#103	C₂³	1	6	yes	complemented
135	#102	C₂³	1	6	yes	complemented
136	#102	C₂³	1	12	yes	complemented
137	#102	C₂³	1	6	yes	complemented
138	C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
140	C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	complemented
141	C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	complemented
142	C₂⁴	—	2	24	no	—
143	C₂⁴	—	2	3	no	—
144	C₂⁴	—	2	6	no	—
145	C₂⁴	—	2	6	no	—
146	C₂⁴	—	2	3	no	—
147	C₂⁴	—	8	6	no	—
148	C₂⁴	—	8	6	no	—
149	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
150	#41	—	2	24	no	—
151	#41	—	2	48	no	—
152	#41	—	2	24	no	—
153	#41	—	2	16	no	—
154	#41	—	2	4	no	—
155	#41	—	2	12	no	—
156	#41	—	2	12	no	—
157	#41	—	2	12	no	—
158	#41	—	2	12	no	—
159	#41	—	2	12	no	—
160	#41	—	2	12	no	—
161	#41	—	4	4	no	—
162	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
163	#41	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
164	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
167	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
168	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	24	no	—
172	C₂×D₄	—	2	24	no	—
173	C₂×D₄	—	2	96	no	—
174	C₂×D₄	—	2	24	no	—
175	C₂×D₄	—	2	48	no	—
176	C₂×D₄	—	2	24	no	—
177	C₂×D₄	—	2	6	no	—
178	C₂×D₄	—	2	6	no	—
179	C₂×D₄	—	2	12	no	—
180	C₂×D₄	—	2	48	no	—
181	C₂×D₄	—	2	12	no	—
182	C₂×D₄	—	2	24	no	—
183	C₂×D₄	—	2	3	no	—
184	C₂×D₄	—	2	3	no	—
185	C₂×D₄	—	2	3	no	—
186	C₂×D₄	—	2	6	no	—
187	C₂×D₄	—	2	6	no	—
188	C₂×D₄	—	2	3	no	—
189	C₂×D₄	—	2	6	no	—
190	C₂×D₄	—	2	12	no	—
191	C₂×D₄	—	2	12	no	—
192	C₂×D₄	—	2	3	no	—
193	C₂×D₄	—	4	12	no	—
194	C₂×D₄	—	8	6	no	—
195	C₂×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
196	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
197	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
198	C₂×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
199	C₂×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
200	C₂×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
201	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
214	Q₁₆	—	2	4	no	—
215	SD₁₆	—	2	12	no	—
216	SD₁₆	—	2	12	no	—
217	D₈	—	2	12	no	—
218	D₈	—	2	24	no	—
219	M₁₆	—	2	12	no	—
220	C₂×C₈	—	2	12	no	—
221	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
223	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
226	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
227	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
234	C₄²	—	2	3	no	—
235	C₂³	—	2	12	no	—
236	C₂³	—	2	24	no	—
237	C₂³	—	2	6	no	—
238	C₂³	—	2	6	no	—
239	C₂³	—	2	6	no	—
240	C₂³	—	2	24	no	—
241	C₂³	—	2	3	no	—
242	C₂³	—	4	3	no	—
243	C₂³	—	4	6	no	—
244	C₂³	—	4	6	no	—
245	C₂³	—	4	6	no	—
246	C₂³	—	8	6	no	—
247	C₂³	—	8	6	no	—
248	C₂³	—	8	6	no	—
249	C₂³	—	8	6	no	—
250	C₂³	—	8	3	no	—
251	C₂³	—	8	3	no	—
252	C₂³	—	8	48	no	—
253	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
254	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
255	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	Q₈	—	2	4	no	—
257	Q₈	—	2	6	no	—
258	Q₈	—	2	2	no	—
259	Q₈	—	2	2	no	—
260	Q₈	#120	1	4	yes	—
261	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
262	D₄	—	2	24	no	—
263	D₄	—	2	24	no	—
264	D₄	—	2	12	no	—
265	D₄	—	2	24	no	—
266	D₄	—	2	12	no	—
267	D₄	—	2	6	no	—
268	D₄	—	2	24	no	—
269	D₄	—	2	6	no	—
270	D₄	—	2	6	no	—
271	D₄	—	4	6	no	—
272	D₄	—	4	6	no	—
273	D₄	—	4	6	no	—
274	D₄	—	8	3	no	—
275	D₄	—	8	6	no	—
276	D₄	#120	1	12	yes	—
277	D₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	24	no	—
280	C₂×C₄	—	2	6	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	6	no	—
283	C₂×C₄	—	2	24	no	—
284	C₂×C₄	—	2	6	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	6	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	3	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	6	no	—
291	C₂×C₄	—	8	3	no	—
292	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
296	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	C₈	—	2	2	no	—
298	C₈	—	2	6	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	3	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	3	no	—
303	C₂²	—	2	3	no	—
304	C₂²	—	2	3	no	—
305	C₂²	—	2	12	no	—
306	C₂²	—	2	3	no	—
307	C₂²	—	4	12	no	—
308	C₂²	—	4	24	no	—
309	C₂²	—	4	6	no	—
310	C₂²	—	4	6	no	—
311	C₂²	—	4	3	no	—
312	C₂²	—	4	3	no	—
313	C₂²	—	4	3	no	—
314	C₂²	—	8	24	no	—
315	C₂²	—	8	24	no	—
316	C₂²	—	16	6	no	—
317	C₂²	C₂×#120	1	6	yes	—
318	C₂²	#576	1	2	yes	complemented
319	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄	—	2	4	no	—
321	C₄	—	2	3	no	—
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	4	1	no	—
324	C₄	—	4	1	no	—
325	C₄	—	4	3	no	—
326	C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
327	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
328	C₂	—	2	2	no	—
329	C₂	—	2	6	no	—
330	C₂	—	4	3	no	—
331	C₂	—	4	12	no	—
332	C₂	—	8	3	no	—
333	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. C₂×#576	C₂	semidirect
3. #3488	C₂	semidirect
4. #3012	C₂	semidirect
5. #3008	C₂	semidirect
6. #3006	C₂	semidirect
7. #3003	C₂	semidirect
8. #3002	C₂	semidirect
9. C₂×#447	C₂	semidirect
10. #2897	C₂	semidirect
11. #2880	C₂	semidirect
16. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
17. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
20. C₂²×#41	C₂²	semidirect
22. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
24. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
25. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
26. C₂×#135	C₂²	semidirect
27. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
28. C₂×#131	C₂²	semidirect
33. #537	C₂²	semidirect
34. #535	C₂²	semidirect
35. #525	C₂²	semidirect
36. C₂×#121	C₂²	semidirect
37. #520	C₂²	semidirect
38. #452	C₂²	semidirect
39. #451	C₂²	semidirect
40. #450	C₂²	semidirect
41. #450	C₂²	semidirect
42. #449	C₂²	semidirect
43. #449	C₂²	semidirect
44. #448	C₂²	semidirect
45. #447	C₂²	semidirect
46. #447	C₂²	semidirect
47. #447	C₂²	semidirect
48. #447	C₂²	semidirect
49. #418	C₂²	semidirect
50. #417	C₂²	semidirect
51. #416	C₂²	semidirect
52. C₂×#102	C₂²	semidirect
53. #408	C₂²	semidirect
54. #407	C₂²	semidirect
55. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
63. H(5,𝔽₂)	D₄	semidirect
78. C₂×#41	C₂³	semidirect
96. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
102. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
103. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
104. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
106. C₂×D₈	C₂³	semidirect
107. C₂×D₈	C₂³	semidirect
109. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
110. C₂²×C₈	C₂³	semidirect
116. C₂²⋊Q₈	C₂³	semidirect
122. #121	C₂³	semidirect
123. #121	C₂³	semidirect
130. #117	C₂³	semidirect
131. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
133. #103	C₂³	semidirect
134. #103	C₂³	semidirect
135. #102	C₂³	semidirect
136. #102	C₂³	semidirect
137. #102	C₂³	semidirect
140. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
141. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
163. #41	C₂×D₄	semidirect
198. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
318. C₂²	#576	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(5,𝔽₂)	2
C₂×#576	2
#3488	2
#3012	2
#3008	2
#3006	2
#3003	2
#3002	2
C₂×#447	2
#2897	2
#2880	2