Subgroups — #60374

Order 256.

2391 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#577	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3488	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3013	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#3010	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#3006	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#3004	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#3002	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×#448	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#2898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2880	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
13	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
14	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
15	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	6	yes	complemented
17	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×#41	—	2	3	no	—
19	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	complemented
21	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
22	C₂³×Q₈	C₂²	1	3	yes	complemented
23	#577	—	2	16	no	—
24	C₂×#137	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	6	yes	complemented
26	C₂×#135	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#550	—	2	1	no	—
30	#548	—	2	1	no	—
31	#546	—	2	3	no	—
32	D₄²	—	2	3	no	—
33	#537	C₂²	1	3	yes	complemented
34	#535	C₂²	1	3	yes	complemented
35	#525	C₂²	1	3	yes	—
36	C₂×#121	C₂²	1	3	yes	—
37	#520	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#452	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#451	C₂²	1	3	yes	complemented
40	#451	C₂²	1	6	yes	complemented
41	#450	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	#449	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#449	C₂²	1	12	yes	complemented
44	#448	C₂²	1	3	yes	complemented
45	#448	C₂²	1	6	yes	complemented
46	#448	C₂²	1	12	yes	complemented
47	#448	C₂²	1	6	yes	complemented
48	#447	C₂²	1	3	yes	complemented
49	#419	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#417	C₂²	1	6	yes	complemented
51	#416	C₂²	1	6	yes	complemented
52	C₂×#103	C₂²	1	6	yes	complemented
53	#408	C₂²	1	6	yes	complemented
54	#407	C₂²	1	3	yes	complemented
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	3	yes	complemented
56	2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
57	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
58	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
59	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
60	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
61	2₋¹⁺⁴	D₄	1	16	yes	complemented
62	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
63	C₂×#41	—	2	48	no	—
64	C₂×#41	—	2	8	no	—
65	C₂×#41	—	2	24	no	—
66	C₂×#41	—	2	1	no	—
67	C₂×#41	—	2	6	no	—
68	C₂×#41	—	2	12	no	—
69	C₂×#41	—	2	6	no	—
70	C₂×#41	—	2	3	no	—
71	C₂×#41	—	2	3	no	—
72	C₂×#41	D₄	1	3	yes	—
73	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×#41	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂×#41	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
82	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
83	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
84	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
86	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
93	C₂²×D₄	D₄	1	3	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
99	#137	—	2	24	no	—
100	AGL(1,ℤ/8)	—	2	24	no	—
101	#135	—	2	24	no	—
102	C₂×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	24	no	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	12	yes	—
106	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×D₈	C₂³	1	6	yes	—
108	#131	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂³	1	6	yes	—
111	#127	—	2	3	no	—
112	#124	—	2	3	no	—
113	#123	—	2	3	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
115	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
117	#121	—	2	6	no	—
118	#121	—	2	3	no	—
119	#121	—	2	3	no	—
120	#121	—	2	3	no	—
121	#121	C₂³	1	3	yes	—
122	#121	C₂³	1	6	yes	—
123	#121	C₂³	1	3	yes	—
124	#120	—	2	3	no	—
125	#120	—	2	6	no	—
126	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₄×D₄	—	2	3	no	—
128	C₄×D₄	—	2	3	no	—
129	C₄×D₄	—	2	3	no	—
130	#117	C₂³	1	3	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
133	#103	C₂³	1	6	yes	—
134	#103	C₂³	1	12	yes	—
135	#103	C₂³	1	6	yes	—
136	#102	C₂³	1	2	yes	—
137	#102	C₂³	1	6	yes	—
138	C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
140	C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
141	C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
142	C₂⁴	—	2	1	no	—
143	C₂⁴	—	2	3	no	—
144	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
145	#41	—	2	96	no	—
146	#41	—	2	24	no	—
147	#41	—	2	48	no	—
148	#41	—	2	24	no	—
149	#41	—	2	4	no	—
150	#41	—	2	12	no	—
151	#41	—	2	48	no	—
152	#41	—	2	12	no	—
153	#41	—	2	12	no	—
154	#41	—	2	12	no	—
155	#41	—	2	12	no	—
156	#41	—	2	12	no	—
157	#41	—	4	4	no	—
158	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	#41	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
160	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
172	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
173	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
175	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
177	C₂×D₄	—	2	24	no	—
178	C₂×D₄	—	2	6	no	—
179	C₂×D₄	—	2	6	no	—
180	C₂×D₄	—	2	12	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	3	no	—
183	C₂×D₄	—	2	3	no	—
184	C₂×D₄	—	2	3	no	—
185	C₂×D₄	—	2	6	no	—
186	C₂×D₄	—	2	1	no	—
187	C₂×D₄	—	2	12	no	—
188	C₂×D₄	—	2	3	no	—
189	C₂×D₄	—	4	12	no	—
190	C₂×D₄	—	8	6	no	—
191	C₂×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
192	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
193	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
194	C₂×D₄	C₂⁴	1	3	yes	—
195	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
212	Q₁₆	—	2	12	no	—
213	SD₁₆	—	2	12	no	—
214	SD₁₆	—	2	24	no	—
215	SD₁₆	—	2	4	no	—
216	D₈	—	2	12	no	—
217	M₁₆	—	2	12	no	—
218	C₂×C₈	—	2	12	no	—
219	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
221	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
224	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
225	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
232	C₄²	—	2	3	no	—
233	C₂³	—	2	4	no	—
234	C₂³	—	2	6	no	—
235	C₂³	—	2	6	no	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	3	no	—
238	C₂³	—	4	3	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	—	4	2	no	—
241	C₂³	—	4	6	no	—
242	C₂³	—	8	3	no	—
243	C₂³	—	8	3	no	—
244	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
245	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
246	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	Q₈	—	2	24	no	—
248	Q₈	—	2	12	no	—
249	Q₈	—	2	6	no	—
250	Q₈	—	2	24	no	—
251	Q₈	—	2	6	no	—
252	Q₈	—	2	2	no	—
253	Q₈	#120	1	4	yes	—
254	Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
255	D₄	—	2	24	no	—
256	D₄	—	2	4	no	—
257	D₄	—	2	24	no	—
258	D₄	—	2	12	no	—
259	D₄	—	2	6	no	—
260	D₄	—	2	2	no	—
261	D₄	—	2	6	no	—
262	D₄	—	4	6	no	—
263	D₄	—	4	6	no	—
264	D₄	—	4	6	no	—
265	D₄	—	8	3	no	—
266	D₄	—	8	6	no	—
267	D₄	#120	1	12	yes	—
268	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	—	2	12	no	—
270	C₂×C₄	—	2	24	no	—
271	C₂×C₄	—	2	24	no	—
272	C₂×C₄	—	2	24	no	—
273	C₂×C₄	—	2	6	no	—
274	C₂×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂×C₄	—	2	6	no	—
276	C₂×C₄	—	2	24	no	—
277	C₂×C₄	—	2	6	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	6	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	3	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	4	6	no	—
284	C₂×C₄	—	8	3	no	—
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
289	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	2	6	no	—
292	C₂²	—	2	1	no	—
293	C₂²	—	2	3	no	—
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	2	3	no	—
296	C₂²	—	2	3	no	—
297	C₂²	—	2	3	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	3	no	—
300	C₂²	—	4	12	no	—
301	C₂²	—	4	8	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	3	no	—
305	C₂²	—	4	3	no	—
306	C₂²	—	4	3	no	—
307	C₂²	—	16	6	no	—
308	C₂²	C₂×#120	1	6	yes	—
309	C₂²	#577	1	2	yes	complemented
310	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₄	—	2	12	no	—
312	C₄	—	2	3	no	—
313	C₄	—	2	1	no	—
314	C₄	—	4	1	no	—
315	C₄	—	4	1	no	—
316	C₄	—	4	3	no	—
317	C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
318	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	—	2	6	no	—
321	C₂	—	4	3	no	—
322	C₂	—	4	4	no	—
323	C₂	—	8	3	no	—
324	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	semidirect
2. C₂×#577	C₂	semidirect
3. #3488	C₂	semidirect
4. #3013	C₂	semidirect
5. #3010	C₂	semidirect
6. #3006	C₂	semidirect
7. #3004	C₂	semidirect
8. #3002	C₂	semidirect
9. C₂×#448	C₂	semidirect
10. #2898	C₂	semidirect
11. #2880	C₂	semidirect
16. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
17. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
20. C₂²×#41	C₂²	semidirect
22. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×#137	C₂²	semidirect
25. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
26. C₂×#135	C₂²	semidirect
27. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
28. C₂×#131	C₂²	semidirect
33. #537	C₂²	semidirect
34. #535	C₂²	semidirect
37. #520	C₂²	semidirect
38. #452	C₂²	semidirect
39. #451	C₂²	semidirect
40. #451	C₂²	semidirect
41. #450	C₂²	semidirect
42. #449	C₂²	semidirect
43. #449	C₂²	semidirect
44. #448	C₂²	semidirect
45. #448	C₂²	semidirect
46. #448	C₂²	semidirect
47. #448	C₂²	semidirect
48. #447	C₂²	semidirect
49. #419	C₂²	semidirect
50. #417	C₂²	semidirect
51. #416	C₂²	semidirect
52. C₂×#103	C₂²	semidirect
53. #408	C₂²	semidirect
54. #407	C₂²	semidirect
55. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
61. 2₋¹⁺⁴	D₄	semidirect
159. #41	C₂×D₄	semidirect
174. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
309. C₂²	#577	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×2₋¹⁺⁴	2
C₂×#577	2
#3488	2
#3013	2
#3010	2
#3006	2
#3004	2
#3002	2
C₂×#448	2
#2898	2
#2880	2