Subgroups — #60375

Order 256.

2357 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 323 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#578	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3013	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#3011	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#3007	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#3004	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#3002	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×#451	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	#2898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2880	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
13	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
14	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
15	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×#41	—	2	3	no	—
19	C₂²×#41	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
22	C₂³×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
23	#578	—	2	16	no	—
24	C₂×#137	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×#137	C₂²	1	6	yes	complemented
26	C₂×#135	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	6	yes	complemented
28	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
29	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
30	#548	—	2	1	no	—
31	#547	—	2	3	no	—
32	#546	—	2	3	no	—
33	#537	C₂²	1	3	yes	complemented
34	#536	C₂²	1	3	yes	complemented
35	#525	C₂²	1	3	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
37	#520	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#452	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#452	C₂²	1	12	yes	complemented
40	#451	C₂²	1	3	yes	—
41	#451	C₂²	1	6	yes	—
42	#451	C₂²	1	12	yes	complemented
43	#451	C₂²	1	6	yes	complemented
44	#450	C₂²	1	3	yes	—
45	#449	C₂²	1	6	yes	complemented
46	#448	C₂²	1	3	yes	—
47	#448	C₂²	1	6	yes	complemented
48	#447	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#419	C₂²	1	6	yes	complemented
50	#417	C₂²	1	6	yes	complemented
51	#416	C₂²	1	6	yes	complemented
52	C₂×#103	C₂²	1	6	yes	complemented
53	#408	C₂²	1	6	yes	complemented
54	#407	C₂²	1	3	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
56	2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
57	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
58	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
59	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
60	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
61	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
62	2₋¹⁺⁴	D₄	1	16	yes	complemented
63	C₂×#41	—	2	48	no	—
64	C₂×#41	—	2	24	no	—
65	C₂×#41	—	2	8	no	—
66	C₂×#41	—	2	12	no	—
67	C₂×#41	—	2	6	no	—
68	C₂×#41	—	2	6	no	—
69	C₂×#41	—	2	3	no	—
70	C₂×#41	—	2	3	no	—
71	C₂×#41	—	2	3	no	—
72	C₂×#41	D₄	1	3	yes	—
73	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
75	C₂×#41	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂×#41	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×#41	C₂³	1	3	yes	—
78	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
81	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
83	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
84	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
87	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
93	C₂²×D₄	D₄	1	3	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
98	#137	—	2	24	no	—
99	#137	—	2	24	no	—
100	#135	—	2	24	no	—
101	C₂×Q₁₆	—	2	24	no	—
102	C₂×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
103	C₂×Q₁₆	C₂³	1	12	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
107	#131	—	2	8	no	—
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	6	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂³	1	6	yes	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
111	#124	—	2	3	no	—
112	#123	—	2	6	no	—
113	#123	—	2	3	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
117	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
118	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
119	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
120	#121	—	2	6	no	—
121	#121	—	2	3	no	—
122	#121	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	#121	C₂³	1	3	yes	—
124	#120	—	2	3	no	—
125	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₄×D₄	—	2	3	no	—
127	C₄×D₄	—	2	3	no	—
128	C₄×D₄	—	2	3	no	—
129	#117	C₂³	1	3	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
133	#103	C₂³	1	6	yes	—
134	#103	C₂³	1	12	yes	—
135	#103	C₂³	1	6	yes	—
136	#102	C₂³	1	2	yes	—
137	#102	C₂³	1	6	yes	—
138	C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
140	C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
141	C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
142	C₂⁴	—	2	1	no	—
143	C₂⁴	C₂×D₄	1	3	yes	—
144	#41	—	2	96	no	—
145	#41	—	2	24	no	—
146	#41	—	2	48	no	—
147	#41	—	2	24	no	—
148	#41	—	2	4	no	—
149	#41	—	2	12	no	—
150	#41	—	2	48	no	—
151	#41	—	2	12	no	—
152	#41	—	2	12	no	—
153	#41	—	2	12	no	—
154	#41	—	2	12	no	—
155	#41	—	2	12	no	—
156	#41	—	4	12	no	—
157	#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
158	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
162	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
174	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
175	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
176	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×Q₈	C₂⁴	1	3	yes	—
178	C₂×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
179	C₂×D₄	—	2	24	no	—
180	C₂×D₄	—	2	6	no	—
181	C₂×D₄	—	2	6	no	—
182	C₂×D₄	—	2	12	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	1	no	—
185	C₂×D₄	—	2	3	no	—
186	C₂×D₄	—	2	3	no	—
187	C₂×D₄	—	2	1	no	—
188	C₂×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
189	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
190	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
191	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
210	Q₁₆	—	2	12	no	—
211	Q₁₆	—	2	24	no	—
212	SD₁₆	—	2	12	no	—
213	SD₁₆	—	2	12	no	—
214	D₈	—	2	4	no	—
215	M₁₆	—	2	12	no	—
216	C₂×C₈	—	2	12	no	—
217	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
219	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
223	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
224	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
231	C₄²	—	2	3	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	6	no	—
234	C₂³	—	2	6	no	—
235	C₂³	—	2	2	no	—
236	C₂³	—	2	1	no	—
237	C₂³	—	4	3	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	2	no	—
240	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
241	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
242	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	Q₈	—	2	24	no	—
244	Q₈	—	2	12	no	—
245	Q₈	—	2	24	no	—
246	Q₈	—	2	6	no	—
247	Q₈	—	2	6	no	—
248	Q₈	—	2	6	no	—
249	Q₈	—	4	6	no	—
250	Q₈	#120	1	4	yes	—
251	Q₈	C₂²×D₄	1	12	yes	—
252	D₄	—	2	24	no	—
253	D₄	—	2	4	no	—
254	D₄	—	2	24	no	—
255	D₄	—	2	12	no	—
256	D₄	—	2	6	no	—
257	D₄	—	2	2	no	—
258	D₄	—	2	2	no	—
259	D₄	—	4	6	no	—
260	D₄	—	4	2	no	—
261	D₄	—	8	3	no	—
262	D₄	#120	1	12	yes	—
263	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	—	2	12	no	—
265	C₂×C₄	—	2	24	no	—
266	C₂×C₄	—	2	24	no	—
267	C₂×C₄	—	2	24	no	—
268	C₂×C₄	—	2	6	no	—
269	C₂×C₄	—	2	6	no	—
270	C₂×C₄	—	2	6	no	—
271	C₂×C₄	—	2	24	no	—
272	C₂×C₄	—	2	6	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	3	no	—
277	C₂×C₄	—	2	3	no	—
278	C₂×C₄	—	4	6	no	—
279	C₂×C₄	—	4	6	no	—
280	C₂×C₄	—	8	3	no	—
281	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
285	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
286	C₈	—	2	2	no	—
287	C₈	—	2	6	no	—
288	C₂²	—	2	3	no	—
289	C₂²	—	2	1	no	—
290	C₂²	—	2	1	no	—
291	C₂²	—	2	3	no	—
292	C₂²	—	2	3	no	—
293	C₂²	—	2	3	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	3	no	—
296	C₂²	—	4	12	no	—
297	C₂²	—	4	8	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	4	1	no	—
301	C₂²	—	4	1	no	—
302	C₂²	—	4	1	no	—
303	C₂²	C₂×#120	1	6	yes	—
304	C₂²	#578	1	2	yes	complemented
305	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄	—	2	12	no	—
307	C₄	—	2	3	no	—
308	C₄	—	2	1	no	—
309	C₄	—	4	3	no	—
310	C₄	—	4	3	no	—
311	C₄	—	4	1	no	—
312	C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
313	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
314	C₂	—	2	2	no	—
315	C₂	—	2	6	no	—
316	C₂	—	4	3	no	—
317	C₂	—	4	4	no	—
318	C₂	—	8	1	no	—
319	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	semidirect
2. C₂×#578	C₂	semidirect
3. #3489	C₂	semidirect
4. #3013	C₂	semidirect
5. #3011	C₂	semidirect
6. #3007	C₂	semidirect
7. #3004	C₂	semidirect
8. #3002	C₂	semidirect
9. C₂×#451	C₂	semidirect
10. #2898	C₂	semidirect
11. #2880	C₂	semidirect
17. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
24. C₂×#137	C₂²	semidirect
25. C₂×#137	C₂²	semidirect
26. C₂×#135	C₂²	semidirect
27. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
28. C₂×#131	C₂²	semidirect
33. #537	C₂²	semidirect
34. #536	C₂²	semidirect
37. #520	C₂²	semidirect
38. #452	C₂²	semidirect
39. #452	C₂²	semidirect
42. #451	C₂²	semidirect
43. #451	C₂²	semidirect
45. #449	C₂²	semidirect
47. #448	C₂²	semidirect
49. #419	C₂²	semidirect
50. #417	C₂²	semidirect
51. #416	C₂²	semidirect
52. C₂×#103	C₂²	semidirect
53. #408	C₂²	semidirect
62. 2₋¹⁺⁴	D₄	semidirect
304. C₂²	#578	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×2₋¹⁺⁴	2
C₂×#578	2
#3489	2
#3013	2
#3011	2
#3007	2
#3004	2
#3002	2
C₂×#451	2
#2898	2
#2880	2