Subgroups — C₂×#3021 #60385

Order 256.

2467 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3021	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#454	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×#453	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#585	—	2	4	no	—
10	#585	—	2	8	no	—
11	#585	C₂²	1	8	yes	complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
13	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	complemented
14	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
15	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
16	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂²×#41	—	2	4	no	—
18	C₂²×#41	—	2	2	no	—
19	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
23	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
24	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	16	yes	complemented
26	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
27	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
28	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#535	—	2	4	no	—
30	#535	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#121	—	2	2	no	—
34	C₂×#120	—	2	2	no	—
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#454	C₂²	1	32	yes	complemented
37	#453	C₂²	1	32	yes	complemented
38	#421	C₂²	1	16	yes	complemented
39	C₂×#104	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#413	C₂²	1	8	yes	complemented
41	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	complemented
43	C₂⁵	—	2	1	no	—
44	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
45	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
46	2₋¹⁺⁴	—	2	4	no	—
47	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
48	2₋¹⁺⁴	C₂³	1	8	yes	complemented
49	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
50	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
51	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
52	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
53	H(5,𝔽₂)	—	2	4	no	—
54	H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
55	H(5,𝔽₂)	C₂³	1	8	yes	complemented
56	C₂×#41	—	2	4	no	—
57	C₂×#41	—	2	8	no	—
58	C₂×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#41	—	2	32	no	—
60	C₂×#41	—	2	16	no	—
61	C₂×#41	—	2	32	no	—
62	C₂×#41	—	2	4	no	—
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	2	no	—
65	C₂×#41	—	2	2	no	—
66	C₂×#41	—	2	4	no	—
67	C₂×#41	—	2	16	no	—
68	C₂×#41	—	2	2	no	—
69	C₂×#41	—	2	2	no	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	2	4	no	—
72	C₂×#41	—	2	4	no	—
73	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#41	D₄	1	4	yes	complemented
75	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
76	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
81	C₂²×Q₈	D₄	1	2	yes	complemented
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	complemented
96	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
104	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
105	AGL(1,ℤ/8)	C₂³	1	32	yes	complemented
106	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
108	C₂×D₈	—	2	8	no	—
109	C₂×D₈	—	2	16	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	#127	—	2	4	no	—
116	#127	C₂³	1	8	yes	complemented
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	C₂³	1	8	yes	complemented
119	#121	—	2	16	no	—
120	#120	—	2	16	no	—
121	#117	—	2	2	no	—
122	#117	C₂³	1	4	yes	complemented
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
127	#104	C₂³	1	32	yes	complemented
128	#101	C₂³	1	8	yes	complemented
129	#100	C₂³	1	8	yes	complemented
130	C₂⁴	—	2	4	no	—
131	C₂⁴	—	2	2	no	—
132	C₂⁴	—	2	2	no	—
133	C₂⁴	—	2	4	no	—
134	C₂⁴	—	4	2	no	—
135	C₂⁴	—	4	2	no	—
136	C₂⁴	—	8	4	no	—
137	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	#41	—	2	32	no	—
140	#41	—	2	64	no	—
141	#41	—	2	16	no	—
142	#41	—	2	16	no	—
143	#41	—	2	16	no	—
144	#41	—	2	32	no	—
145	#41	—	2	16	no	—
146	#41	—	2	16	no	—
147	#41	—	2	8	no	—
148	#41	—	2	8	no	—
149	#41	—	2	8	no	—
150	#41	—	2	8	no	—
151	#41	—	2	8	no	—
152	#41	—	2	8	no	—
153	#41	—	2	8	no	—
154	#41	—	2	16	no	—
155	#41	—	2	4	no	—
156	#41	—	2	8	no	—
157	#41	—	2	8	no	—
158	#41	—	2	4	no	—
159	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
160	#41	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
161	#41	C₂⁴	1	8	yes	—
162	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
164	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
165	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
173	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	16	no	—
177	C₂×D₄	—	2	64	no	—
178	C₂×D₄	—	2	16	no	—
179	C₂×D₄	—	2	16	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	16	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	16	no	—
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	8	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	1	no	—
203	C₂×D₄	—	4	1	no	—
204	C₂×D₄	—	8	8	no	—
205	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
206	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
209	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
232	SD₁₆	—	2	32	no	—
233	D₈	—	2	32	no	—
234	M₁₆	—	2	4	no	—
235	M₁₆	—	2	8	no	—
236	M₁₆	C₂⁴	1	8	yes	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
244	C₂³	—	2	16	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	4	2	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	8	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	8	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	8	4	no	—
257	C₂³	—	8	8	no	—
258	C₂³	—	8	8	no	—
259	C₂³	—	8	8	no	—
260	C₂³	—	8	8	no	—
261	C₂³	#120	1	2	yes	—
262	C₂³	#120	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	Q₈	—	2	16	no	—
267	Q₈	—	2	4	no	—
268	Q₈	—	2	4	no	—
269	Q₈	—	2	8	no	—
270	Q₈	—	2	4	no	—
271	Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
272	D₄	—	2	32	no	—
273	D₄	—	2	16	no	—
274	D₄	—	2	8	no	—
275	D₄	—	2	16	no	—
276	D₄	—	2	16	no	—
277	D₄	—	2	8	no	—
278	D₄	—	2	4	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	8	no	—
281	D₄	—	2	4	no	—
282	D₄	—	2	8	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	8	16	no	—
287	D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
288	C₂×C₄	—	2	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	32	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#120	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
314	C₈	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	8	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	8	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	8	no	—
328	C₂²	—	8	4	no	—
329	C₂²	—	8	16	no	—
330	C₂²	—	8	16	no	—
331	C₂²	—	8	4	no	—
332	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
333	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	8	no	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
340	C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
341	C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
342	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	2	1	no	—
345	C₂	—	2	4	no	—
346	C₂	—	4	4	no	—
347	C₂	—	4	8	no	—
348	C₂	—	8	4	no	—
349	C₂	#3021	1	2	yes	direct product factor
350	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#585	C₂	semidirect
2. C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
3. C₂×#535	C₂	semidirect
4. #3021	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#454	C₂	semidirect
6. C₂×#453	C₂	semidirect
7. C₂×#421	C₂	semidirect
8. C₂×#413	C₂	semidirect
11. #585	C₂²	semidirect
13. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
16. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
21. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
24. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
25. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
28. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
30. #535	C₂²	semidirect
31. C₂×#127	C₂²	semidirect
32. C₂×#124	C₂²	semidirect
35. C₂×#117	C₂²	semidirect
36. #454	C₂²	semidirect
37. #453	C₂²	semidirect
38. #421	C₂²	semidirect
39. C₂×#104	C₂²	semidirect
40. #413	C₂²	semidirect
41. C₂×#101	C₂²	semidirect
42. C₂×#100	C₂²	semidirect
48. 2₋¹⁺⁴	C₂³	semidirect
55. H(5,𝔽₂)	C₂³	semidirect
74. C₂×#41	D₄	semidirect
75. C₂×#41	D₄	semidirect
81. C₂²×Q₈	D₄	semidirect
95. C₂²×D₄	D₄	semidirect
98. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
105. AGL(1,ℤ/8)	C₂³	semidirect
113. C₂×M₁₆	C₂³	semidirect
116. #127	C₂³	semidirect
118. #124	C₂³	semidirect
122. #117	C₂³	semidirect
127. #104	C₂³	semidirect
128. #101	C₂³	semidirect
129. #100	C₂³	semidirect
160. #41	C₂×D₄	semidirect
172. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
208. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
349. C₂	#3021	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#585	2
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#535	2
#3021	2
C₂×#454	2
C₂×#453	2
C₂×#421	2
C₂×#413	2

Subgroups — C2×#3021 #60385

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#3021 #60385