Finite Group Databasebeta

Subgroups — #60399

Order 256.

2564 conjugacy classes of subgroups; only the 557 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 2564 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 557 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	H(7,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3484	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#3027	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3026	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#3025	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×B(4,𝔽₂)	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2883	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#585	—	2	12	no	—
9	#585	C₂²	1	4	yes	complemented
10	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
11	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	8	yes	complemented
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	#546	—	2	12	no	—
15	D₄²	—	2	12	no	—
16	#535	C₂²	1	6	yes	complemented
17	#534	C₂²	1	12	yes	complemented
18	#525	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂×#120	C₂²	1	12	yes	complemented
20	#518	C₂²	1	3	yes	complemented
21	#458	C₂²	1	16	yes	complemented
22	B(4,𝔽₂)	C₂²	1	16	yes	complemented
23	B(4,𝔽₂)	C₂²	1	32	yes	complemented
24	#410	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×#99	C₂²	1	24	yes	complemented
26	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	complemented
27	2₋¹⁺⁴	—	2	16	no	—
28	2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
29	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
30	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
31	H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
32	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
33	H(5,𝔽₂)	C₂³	1	16	yes	—
34	C₂×#41	—	2	48	no	—
35	C₂×#41	—	2	24	no	—
36	C₂×#41	—	2	24	no	—
37	C₂×#41	D₄	1	12	yes	complemented
38	C₂×#41	C₂³	1	6	yes	—
39	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
40	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
41	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
42	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
43	C₂²×D₄	D₄	1	12	yes	complemented
44	C₂²×D₄	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	complemented
47	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
48	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#127	—	2	6	no	—
50	#124	—	2	6	no	—
51	#123	—	2	12	no	—
52	#123	C₂³	1	12	yes	complemented
53	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
54	#121	—	2	6	no	—
55	#121	—	2	24	no	—
56	#121	—	2	12	no	—
57	#120	—	2	12	no	—
58	#120	—	2	24	no	—
59	#120	C₂³	1	12	yes	complemented
60	#120	C₂³	1	24	yes	complemented
61	C₄×D₄	—	2	12	no	—
62	C₄×D₄	—	2	12	no	—
63	#117	C₂³	1	6	yes	complemented
64	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	complemented
66	#99	C₂³	1	48	yes	complemented
67	C₂⁴	—	2	8	no	—
68	C₂⁴	—	2	12	no	—
69	C₂⁴	—	8	4	no	—
70	C₂⁴	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
71	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
73	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
74	#41	—	2	96	no	—
75	#41	—	2	48	no	—
76	#41	—	2	16	no	—
77	#41	—	2	48	no	—
78	#41	—	2	48	no	—
79	#41	—	2	24	no	—
80	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
81	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	6	yes	complemented
83	C₂×D₄	—	2	96	no	—
84	C₂×D₄	—	2	24	no	—
85	C₂×D₄	—	2	24	no	—
86	C₂×D₄	—	2	48	no	—
87	C₂×D₄	—	2	48	no	—
88	C₂×D₄	—	2	48	no	—
89	C₂×D₄	—	2	12	no	—
90	C₂×D₄	—	2	12	no	—
91	C₂×D₄	—	2	24	no	—
92	C₂×D₄	—	2	6	no	—
93	C₂×D₄	—	4	16	no	—
94	C₂×D₄	—	8	24	no	—
95	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
96	C₂×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
97	C₂×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	complemented
98	C₂×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
99	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
103	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
104	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
105	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
108	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
109	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
110	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
111	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
112	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
113	C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	12	yes	—
114	C₄²	—	2	6	no	—
115	C₂³	—	2	16	no	—
116	C₂³	—	2	3	no	—
117	C₂³	—	2	24	no	—
118	C₂³	—	2	6	no	—
119	C₂³	—	4	2	no	—
120	C₂³	—	4	24	no	—
121	C₂³	—	4	8	no	—
122	C₂³	—	8	2	no	—
123	C₂³	—	8	2	no	—
124	C₂³	—	8	12	no	—
125	C₂³	—	8	12	no	—
126	C₂³	—	16	8	no	—
127	C₂³	C₂²×D₄	1	12	yes	—
128	C₂³	C₂²×D₄	1	12	yes	—
129	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
130	Q₈	—	2	16	no	—
131	Q₈	—	2	12	no	—
132	D₄	—	2	48	no	—
133	D₄	—	2	48	no	—
134	D₄	—	2	24	no	—
135	D₄	—	2	12	no	—
136	D₄	—	4	24	no	—
137	D₄	—	4	8	no	—
138	D₄	—	4	4	no	—
139	D₄	—	8	24	no	—
140	D₄	#120	1	16	yes	—
141	C₂×C₄	—	2	48	no	—
142	C₂×C₄	—	2	24	no	—
143	C₂×C₄	—	2	24	no	—
144	C₂×C₄	—	2	12	no	—
145	C₂×C₄	—	2	3	no	—
146	C₂×C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄	—	8	12	no	—
148	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
149	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
150	C₂²	—	2	6	no	—
151	C₂²	—	2	12	no	—
152	C₂²	—	4	12	no	—
153	C₂²	—	4	1	no	—
154	C₂²	—	4	12	no	—
155	C₂²	—	4	3	no	—
156	C₂²	—	4	12	no	—
157	C₂²	—	4	1	no	—
158	C₂²	—	4	2	no	—
159	C₂²	—	8	24	no	—
160	C₂²	—	8	16	no	—
161	C₂²	—	8	16	no	—
162	C₂²	C₂×#120	1	8	yes	—
163	C₂²	C₂³×D₄	1	3	yes	—
164	C₄	—	2	12	no	—
165	C₄	—	4	12	no	—
166	C₄	—	4	1	no	—
167	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
168	C₂	—	2	3	no	—
169	C₂	—	2	8	no	—
170	C₂	—	4	2	no	—
171	C₂	—	4	12	no	—
172	C₂	—	8	2	no	—
173	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. H(7,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. #3484	C₂	semidirect
3. #3027	C₂	semidirect
4. #3026	C₂	semidirect
5. #3025	C₂	semidirect
6. C₂×B(4,𝔽₂)	C₂	semidirect
7. #2883	C₂	semidirect
9. #585	C₂²	semidirect
12. C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	semidirect
13. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
16. #535	C₂²	semidirect
17. #534	C₂²	semidirect
18. #525	C₂²	semidirect
19. C₂×#120	C₂²	semidirect
20. #518	C₂²	semidirect
21. #458	C₂²	semidirect
22. B(4,𝔽₂)	C₂²	semidirect
23. B(4,𝔽₂)	C₂²	semidirect
24. #410	C₂²	semidirect
25. C₂×#99	C₂²	semidirect
26. C₂⁵	C₂³	semidirect
37. C₂×#41	D₄	semidirect
43. C₂²×D₄	D₄	semidirect
46. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
47. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
48. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
52. #123	C₂³	semidirect
59. #120	C₂³	semidirect
60. #120	C₂³	semidirect
63. #117	C₂³	semidirect
65. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
66. #99	C₂³	semidirect
70. C₂⁴	C₂×D₄	semidirect
82. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
96. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
97. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
103. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
104. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
H(7,𝔽₂)	2
#3484	2
#3027	2
#3026	2
#3025	2
C₂×B(4,𝔽₂)	2
#2883	2