Subgroups — #60422

Order 256.

1357 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#575	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3046	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3045	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3044	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3042	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3041	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3035	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
12	C₂×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#575	—	2	8	no	—
19	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#135	—	2	8	no	—
24	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#537	—	2	2	no	—
34	#536	C₂²	1	2	yes	—
35	#536	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#535	C₂²	1	2	yes	—
37	#535	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#534	—	2	2	no	—
39	#532	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#525	—	2	2	no	—
41	#525	—	2	2	no	—
42	#520	—	2	2	no	—
43	#520	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#519	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#518	—	2	2	no	—
46	#518	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₄×#41	—	2	2	no	—
48	C₄×#41	C₂²	1	4	yes	complemented
49	C₂×#117	—	2	2	no	—
50	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#462	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#461	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#460	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#459	C₂²	1	8	yes	complemented
60	#424	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#424	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#424	C₂²	1	4	yes	complemented
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#416	C₂²	1	2	yes	—
68	#416	C₂²	1	2	yes	—
69	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₂×#41	—	2	1	no	—
74	C₂×#41	—	2	1	no	—
75	C₂×#41	—	2	1	no	—
76	C₂×#41	—	2	1	no	—
77	C₂×#41	—	2	1	no	—
78	C₂×#41	—	2	1	no	—
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	—	2	4	no	—
81	C₂×#41	—	2	4	no	—
82	C₂×#41	—	2	4	no	—
83	C₂×#41	—	2	4	no	—
84	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
85	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#137	—	2	8	no	—
105	#137	—	2	8	no	—
106	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
107	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
108	#135	—	2	16	no	—
109	#135	—	2	16	no	—
110	#135	—	2	16	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×D₈	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
132	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
133	#127	C₂³	1	4	yes	—
134	#124	C₂³	1	4	yes	—
135	#124	C₂³	1	4	yes	—
136	#123	—	2	4	no	—
137	#123	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	#121	—	2	8	no	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#120	—	2	4	no	—
144	#120	—	2	4	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
147	C₄×D₄	—	2	8	no	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	8	no	—
150	C₄×D₄	—	2	8	no	—
151	C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
152	#117	—	2	1	no	—
153	#117	—	2	1	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	D₄	1	2	yes	—
158	#117	D₄	1	2	yes	—
159	#117	C₂³	1	2	yes	—
160	#117	C₂³	1	2	yes	—
161	#117	C₂³	1	2	yes	—
162	#117	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
173	C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
174	#103	C₂³	1	4	yes	—
175	#103	C₂³	1	4	yes	—
176	#103	C₂³	1	8	yes	—
177	#102	C₂³	1	4	yes	—
178	#102	C₂³	1	4	yes	—
179	#102	C₂³	1	8	yes	—
180	C₂⁴	—	2	1	no	—
181	C₂⁴	—	2	1	no	—
182	C₂⁴	—	2	1	no	—
183	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	2	4	no	—
187	#41	—	2	4	no	—
188	#41	—	2	4	no	—
189	#41	—	2	4	no	—
190	#41	—	2	4	no	—
191	#41	—	2	4	no	—
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	#41	—	4	4	no	—
198	#41	—	4	4	no	—
199	#41	—	4	4	no	—
200	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
201	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
202	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	1	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	2	1	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
235	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
259	Q₁₆	—	2	8	no	—
260	Q₁₆	—	2	8	no	—
261	SD₁₆	—	2	8	no	—
262	SD₁₆	—	2	8	no	—
263	SD₁₆	—	2	8	no	—
264	SD₁₆	—	2	8	no	—
265	D₈	—	2	8	no	—
266	D₈	—	2	8	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
281	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
289	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
290	C₄²	—	2	8	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
294	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	#121	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	—	2	2	no	—
311	Q₈	—	2	2	no	—
312	Q₈	—	2	2	no	—
313	Q₈	—	2	2	no	—
314	Q₈	—	2	2	no	—
315	Q₈	—	4	2	no	—
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
318	D₄	—	2	8	no	—
319	D₄	—	2	8	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	D₄	—	2	2	no	—
322	D₄	—	2	2	no	—
323	D₄	—	2	2	no	—
324	D₄	—	2	2	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	2	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	8	no	—
337	C₂×C₄	—	2	8	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	—	8	2	no	—
350	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
351	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
354	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	4	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
381	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
382	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
383	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₄	—	2	8	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	4	4	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
390	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
391	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
392	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
393	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
394	C₂	—	2	2	no	—
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	4	4	no	—
398	C₂	—	8	2	no	—
399	C₂	—	8	2	no	—
400	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#3584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#575	C₂	semidirect
2. C₂²×#135	C₂	semidirect
3. #3449	C₂	semidirect
4. #3428	C₂	semidirect
5. #3046	C₂	semidirect
6. #3045	C₂	semidirect
7. #3044	C₂	semidirect
8. #3043	C₂	semidirect
9. #3042	C₂	semidirect
10. #3041	C₂	semidirect
11. #3035	C₂	semidirect
12. C₂×#424	C₂	semidirect
13. #2896	C₂	semidirect
14. C₂×#416	C₂	semidirect
20. C₂×#137	C₂²	semidirect
22. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
25. C₂×#135	C₂²	semidirect
26. C₂×#135	C₂²	semidirect
27. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
28. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
29. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
30. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
35. #536	C₂²	semidirect
37. #535	C₂²	semidirect
39. #532	C₂²	semidirect
43. #520	C₂²	semidirect
44. #519	C₂²	semidirect
46. #518	C₂²	semidirect
48. C₄×#41	C₂²	semidirect
52. #464	C₂²	semidirect
53. #464	C₂²	semidirect
54. #463	C₂²	semidirect
55. #463	C₂²	semidirect
56. #462	C₂²	semidirect
57. #461	C₂²	semidirect
58. #460	C₂²	semidirect
59. #459	C₂²	semidirect
60. #424	C₂²	semidirect
61. #424	C₂²	semidirect
62. #424	C₂²	semidirect
63. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
64. #419	C₂²	semidirect
65. #418	C₂²	semidirect
66. #417	C₂²	semidirect
69. #416	C₂²	semidirect
70. #416	C₂²	semidirect
71. C₂×#103	C₂²	semidirect
72. C₂×#102	C₂²	semidirect
84. C₂×#41	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#575	2
C₂²×#135	2
#3449	2
#3428	2
#3046	2
#3045	2
#3044	2
#3043	2
#3042	2
#3041	2
#3035	2
C₂×#424	2
#2896	2
C₂×#416	2