Subgroups — #60423

Order 256.

1445 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 231 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3042	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#3041	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3036	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
14	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	#537	—	2	2	no	—
18	#536	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#535	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#534	—	2	2	no	—
21	#532	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#525	—	2	4	no	—
23	#518	—	2	4	no	—
24	#518	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
30	#463	C₂²	1	32	yes	complemented
31	#461	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#459	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#424	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#423	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#417	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂⁵	—	2	1	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	8	no	—
43	C₂×#41	—	2	8	no	—
44	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
52	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
56	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
57	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
59	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
60	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
61	C₂×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂×D₈	—	2	16	no	—
63	C₂×D₈	C₂³	1	16	yes	—
64	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
65	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
69	#127	C₂³	1	4	yes	complemented
70	#124	C₂³	1	8	yes	complemented
71	#123	—	2	8	no	—
72	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
73	#121	—	2	8	no	—
74	#121	—	2	8	no	—
75	#120	—	2	8	no	—
76	C₄×D₄	—	2	16	no	—
77	C₄×D₄	—	2	8	no	—
78	C₄×D₄	—	2	8	no	—
79	C₄×D₄	C₂³	1	16	yes	—
80	#117	—	2	2	no	—
81	#117	D₄	1	4	yes	—
82	#117	C₂³	1	4	yes	—
83	#117	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
92	C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
93	#103	C₂³	1	16	yes	complemented
94	#102	C₂³	1	16	yes	complemented
95	C₂⁴	—	2	2	no	—
96	C₂⁴	—	2	8	no	—
97	C₂⁴	—	2	4	no	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	8	4	no	—
100	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	#41	—	2	8	no	—
102	#41	—	2	8	no	—
103	#41	—	2	8	no	—
104	#41	—	2	8	no	—
105	#41	—	4	8	no	—
106	#41	—	4	8	no	—
107	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
111	C₂×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂×D₄	—	2	16	no	—
114	C₂×D₄	—	2	8	no	—
115	C₂×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	4	8	no	—
124	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
125	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
126	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
142	SD₁₆	—	2	32	no	—
143	D₈	—	2	32	no	—
144	M₁₆	—	2	8	no	—
145	M₁₆	—	2	8	no	—
146	C₂×C₈	—	2	8	no	—
147	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
155	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₄²	—	2	4	no	—
157	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂³	—	2	8	no	—
160	C₂³	—	2	4	no	—
161	C₂³	—	2	16	no	—
162	C₂³	—	2	4	no	—
163	C₂³	—	4	2	no	—
164	C₂³	—	4	8	no	—
165	C₂³	—	4	4	no	—
166	C₂³	—	8	4	no	—
167	C₂³	—	8	8	no	—
168	C₂³	—	8	16	no	—
169	C₂³	#121	1	4	yes	—
170	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
171	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	Q₈	—	2	4	no	—
173	Q₈	—	2	4	no	—
174	Q₈	—	4	4	no	—
175	D₄	—	2	8	no	—
176	D₄	—	2	16	no	—
177	D₄	—	2	4	no	—
178	D₄	—	2	4	no	—
179	D₄	—	2	4	no	—
180	D₄	—	4	8	no	—
181	D₄	—	4	8	no	—
182	D₄	—	4	4	no	—
183	D₄	—	8	8	no	—
184	D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄	—	8	16	no	—
193	C₂×C₄	#121	1	8	yes	—
194	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
195	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
196	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
199	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
201	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
203	C₈	—	2	8	no	—
204	C₂²	—	2	2	no	—
205	C₂²	—	2	4	no	—
206	C₂²	—	2	8	no	—
207	C₂²	—	4	4	no	—
208	C₂²	—	4	16	no	—
209	C₂²	—	4	8	no	—
210	C₂²	—	4	8	no	—
211	C₂²	—	4	4	no	—
212	C₂²	—	8	16	no	—
213	C₂²	—	8	8	no	—
214	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
215	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
216	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄	—	2	8	no	—
218	C₄	—	4	4	no	—
219	C₄	—	4	4	no	—
220	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
221	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
222	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂	—	2	2	no	—
225	C₂	—	2	4	no	—
226	C₂	—	4	8	no	—
227	C₂	—	8	4	no	—
228	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
229	C₂	#3585	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
2. #3449	C₂	semidirect
3. C₂×#518	C₂	semidirect
4. #3042	C₂	semidirect
5. #3041	C₂	semidirect
6. #3036	C₂	semidirect
7. #2905	C₂	semidirect
8. #2896	C₂	semidirect
13. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
14. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
15. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
18. #536	C₂²	semidirect
19. #535	C₂²	semidirect
21. #532	C₂²	semidirect
24. #518	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. #463	C₂²	semidirect
31. #461	C₂²	semidirect
32. #459	C₂²	semidirect
33. #424	C₂²	semidirect
34. #423	C₂²	semidirect
35. #419	C₂²	semidirect
36. #418	C₂²	semidirect
37. #417	C₂²	semidirect
38. #416	C₂²	semidirect
51. C₂²×D₄	D₄	semidirect
68. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
69. #127	C₂³	semidirect
70. #124	C₂³	semidirect
92. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
93. #103	C₂³	semidirect
94. #102	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
#3449	2
C₂×#518	2
#3042	2
#3041	2
#3036	2
#2905	2
#2896	2