Subgroups — #60426

Order 256.

1435 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#575	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3045	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3043	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3041	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3040	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3038	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#575	—	2	8	no	—
17	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
20	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#535	—	2	2	no	—
30	#535	—	2	2	no	—
31	#535	C₂²	1	4	yes	—
32	#535	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#121	—	2	2	no	—
36	C₂×#120	—	2	2	no	—
37	#520	—	2	2	no	—
38	#520	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#519	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#518	—	2	2	no	—
41	#518	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₄×#41	—	2	2	no	—
43	C₄×#41	C₂²	1	4	yes	complemented
44	C₂×#117	—	2	2	no	—
45	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#464	C₂²	1	16	yes	complemented
48	#463	C₂²	1	16	yes	complemented
49	#460	C₂²	1	16	yes	complemented
50	#459	C₂²	1	16	yes	complemented
51	#424	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#424	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#423	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
60	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₂⁵	—	2	1	no	—
62	C₂×#41	—	2	1	no	—
63	C₂×#41	—	2	1	no	—
64	C₂×#41	—	2	1	no	—
65	C₂×#41	—	2	1	no	—
66	C₂×#41	—	2	4	no	—
67	C₂×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×#41	—	2	4	no	—
69	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
70	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#137	—	2	8	no	—
93	#137	—	2	8	no	—
94	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
95	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
96	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
97	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
98	#135	—	2	16	no	—
99	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
100	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
104	C₂×D₈	—	2	8	no	—
105	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	complemented
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	#127	—	2	4	no	—
116	#127	C₂³	1	8	yes	—
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	C₂³	1	8	yes	—
119	#121	—	2	8	no	—
120	#121	—	2	8	no	—
121	#120	—	2	8	no	—
122	#120	—	2	8	no	—
123	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	complemented
125	C₄×D₄	—	2	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	2	8	no	—
128	C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	complemented
129	#117	—	2	1	no	—
130	#117	—	2	1	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	D₄	1	2	yes	—
135	#117	D₄	1	2	yes	—
136	#117	C₂³	1	2	yes	—
137	#117	C₂³	1	2	yes	—
138	#117	C₂³	1	2	yes	—
139	#117	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
151	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
152	#102	C₂³	1	16	yes	—
153	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
154	C₂⁴	—	2	1	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	—	2	1	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	4	no	—
160	C₂⁴	—	8	4	no	—
161	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	#41	—	2	8	no	—
163	#41	—	2	8	no	—
164	#41	—	2	4	no	—
165	#41	—	2	4	no	—
166	#41	—	2	4	no	—
167	#41	—	2	4	no	—
168	#41	—	2	4	no	—
169	#41	—	2	4	no	—
170	#41	—	4	4	no	—
171	#41	—	4	4	no	—
172	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	#41	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
174	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
180	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	1	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	1	no	—
196	C₂×D₄	—	2	16	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	8	no	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
208	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	Q₁₆	—	2	8	no	—
231	SD₁₆	—	2	16	no	—
232	SD₁₆	—	2	8	no	—
233	SD₁₆	—	2	8	no	—
234	D₈	—	2	16	no	—
235	D₈	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	2	4	no	—
239	M₁₆	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
259	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	4	no	—
273	C₂³	—	8	4	no	—
274	C₂³	—	8	16	no	—
275	C₂³	#121	1	4	yes	—
276	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	4	no	—
280	Q₈	—	2	2	no	—
281	Q₈	—	2	2	no	—
282	Q₈	—	2	2	no	—
283	Q₈	—	4	2	no	—
284	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
285	D₄	—	2	8	no	—
286	D₄	—	2	8	no	—
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	2	2	no	—
290	D₄	—	2	2	no	—
291	D₄	—	2	4	no	—
292	D₄	—	2	2	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	8	16	no	—
300	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	4	no	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	—	8	8	no	—
343	C₂²	—	8	8	no	—
344	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
346	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
347	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
353	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
354	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
355	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	2	2	no	—
359	C₂	—	2	2	no	—
360	C₂	—	4	4	no	—
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	—	8	4	no	—
363	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#3585	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#575	C₂	semidirect
2. C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
3. C₂×#535	C₂	semidirect
4. #3428	C₂	semidirect
5. #3045	C₂	semidirect
6. #3043	C₂	semidirect
7. #3041	C₂	semidirect
8. #3040	C₂	semidirect
9. #3038	C₂	semidirect
10. #2905	C₂	semidirect
11. #2896	C₂	semidirect
12. C₂×#418	C₂	semidirect
17. C₂×#137	C₂²	semidirect
18. C₂×#137	C₂²	semidirect
21. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
22. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
23. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
24. C₂×#135	C₂²	semidirect
25. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
26. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
32. #535	C₂²	semidirect
33. C₂×#127	C₂²	semidirect
34. C₂×#124	C₂²	semidirect
38. #520	C₂²	semidirect
39. #519	C₂²	semidirect
41. #518	C₂²	semidirect
43. C₄×#41	C₂²	semidirect
47. #464	C₂²	semidirect
48. #463	C₂²	semidirect
49. #460	C₂²	semidirect
50. #459	C₂²	semidirect
51. #424	C₂²	semidirect
52. #424	C₂²	semidirect
53. #423	C₂²	semidirect
54. #419	C₂²	semidirect
55. #418	C₂²	semidirect
56. #418	C₂²	semidirect
57. #418	C₂²	semidirect
58. #417	C₂²	semidirect
59. #416	C₂²	semidirect
60. C₂×#102	C₂²	semidirect
69. C₂×#41	D₄	semidirect
99. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
102. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
103. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
106. C₂×D₈	C₂³	semidirect
124. C₄×Q₈	C₂³	semidirect
128. C₄×D₄	C₂³	semidirect
150. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
151. #103	C₂³	semidirect
153. #102	C₂³	semidirect
173. #41	C₂×D₄	semidirect
179. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
207. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#575	2
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#535	2
#3428	2
#3045	2
#3043	2
#3041	2
#3040	2
#3038	2
#2905	2
#2896	2
C₂×#418	2