Subgroups — #60427

Order 256.

1339 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#575	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3046	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3044	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3042	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3040	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3039	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#419	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#575	—	2	8	no	—
17	C₂×#137	—	2	8	no	—
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#536	—	2	2	no	—
30	#536	—	2	2	no	—
31	#536	C₂²	1	4	yes	—
32	#536	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#123	—	2	2	no	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
37	#520	—	2	2	no	—
38	#520	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#519	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#518	—	2	2	no	—
41	#518	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₄×#41	—	2	2	no	—
43	C₄×#41	C₂²	1	4	yes	—
44	C₂×#117	—	2	2	no	—
45	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#464	C₂²	1	16	yes	complemented
48	#463	C₂²	1	16	yes	complemented
49	#462	C₂²	1	16	yes	complemented
50	#461	C₂²	1	16	yes	complemented
51	#424	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#424	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#423	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#416	C₂²	1	4	yes	—
60	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₂×#41	—	2	1	no	—
62	C₂×#41	—	2	1	no	—
63	C₂×#41	—	2	1	no	—
64	C₂×#41	—	2	1	no	—
65	C₂×#41	—	2	4	no	—
66	C₂×#41	—	2	4	no	—
67	C₂×#41	—	2	4	no	—
68	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
69	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
75	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
76	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
77	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#137	—	2	16	no	—
92	#137	—	2	16	no	—
93	#137	—	2	8	no	—
94	#137	—	2	8	no	—
95	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
96	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
97	#135	—	2	16	no	—
98	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
99	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
116	#124	—	2	4	no	—
117	#124	C₂³	1	8	yes	—
118	#123	—	2	8	no	—
119	#123	—	2	8	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
124	C₄×D₄	—	2	8	no	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	C₄×D₄	—	2	8	no	—
127	C₄×D₄	C₂³	1	8	yes	—
128	#117	—	2	1	no	—
129	#117	—	2	1	no	—
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	D₄	1	2	yes	—
134	#117	D₄	1	2	yes	—
135	#117	C₂³	1	2	yes	—
136	#117	C₂³	1	2	yes	—
137	#117	C₂³	1	2	yes	—
138	#117	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
151	#103	C₂³	1	16	yes	—
152	#103	C₂³	1	8	yes	—
153	#102	C₂³	1	8	yes	—
154	C₂⁴	—	2	1	no	—
155	C₂⁴	—	2	1	no	—
156	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	#41	—	2	8	no	—
158	#41	—	2	8	no	—
159	#41	—	2	4	no	—
160	#41	—	2	4	no	—
161	#41	—	2	4	no	—
162	#41	—	2	4	no	—
163	#41	—	2	4	no	—
164	#41	—	2	4	no	—
165	#41	—	4	4	no	—
166	#41	—	4	4	no	—
167	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
169	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
186	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	1	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	1	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	Q₁₆	—	2	16	no	—
228	Q₁₆	—	2	8	no	—
229	SD₁₆	—	2	8	no	—
230	SD₁₆	—	2	16	no	—
231	SD₁₆	—	2	8	no	—
232	D₈	—	2	8	no	—
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	2	4	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
257	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	2	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	#121	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	Q₈	—	2	4	no	—
270	Q₈	—	2	2	no	—
271	Q₈	—	2	4	no	—
272	Q₈	—	2	2	no	—
273	Q₈	—	2	4	no	—
274	Q₈	—	2	2	no	—
275	Q₈	—	4	4	no	—
276	Q₈	—	4	4	no	—
277	Q₈	—	4	4	no	—
278	Q₈	—	4	2	no	—
279	Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	D₄	—	2	8	no	—
281	D₄	—	2	8	no	—
282	D₄	—	2	4	no	—
283	D₄	—	2	2	no	—
284	D₄	—	2	2	no	—
285	D₄	—	2	2	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	2	no	—
289	D₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
320	C₈	—	2	4	no	—
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	8	4	no	—
331	C₂²	—	8	4	no	—
332	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	8	no	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	—	4	2	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
342	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
344	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₂	—	2	2	no	—
347	C₂	—	2	2	no	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	—	8	2	no	—
351	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#3586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#575	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#137	C₂	semidirect
3. C₂×#536	C₂	semidirect
4. #3428	C₂	semidirect
5. #3046	C₂	semidirect
6. #3044	C₂	semidirect
7. #3042	C₂	semidirect
8. #3040	C₂	semidirect
9. #3039	C₂	semidirect
10. #2905	C₂	semidirect
11. #2896	C₂	semidirect
12. C₂×#419	C₂	semidirect
21. C₂×#137	C₂²	semidirect
25. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
26. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
32. #536	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
34. C₂×#124	C₂²	semidirect
38. #520	C₂²	semidirect
39. #519	C₂²	semidirect
41. #518	C₂²	semidirect
47. #464	C₂²	semidirect
48. #463	C₂²	semidirect
49. #462	C₂²	semidirect
50. #461	C₂²	semidirect
51. #424	C₂²	semidirect
52. #424	C₂²	semidirect
53. #423	C₂²	semidirect
54. #419	C₂²	semidirect
55. #419	C₂²	semidirect
56. #419	C₂²	semidirect
57. #418	C₂²	semidirect
58. #417	C₂²	semidirect
60. C₂×#103	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#575	2
C₂²×#137	2
C₂×#536	2
#3428	2
#3046	2
#3044	2
#3042	2
#3040	2
#3039	2
#2905	2
#2896	2
C₂×#419	2