Subgroups — #60450

Order 256.

1361 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3449	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3061	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3060	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3057	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3054	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3050	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₂×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#135	—	2	8	no	—
16	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×#131	—	2	8	no	—
24	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#537	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#536	—	2	2	no	—
34	#536	C₂²	1	4	yes	—
35	#535	—	2	2	no	—
36	#535	C₂²	1	4	yes	—
37	#534	—	2	4	no	—
38	#532	—	2	4	no	—
39	#525	—	2	4	no	—
40	#525	C₂²	1	8	yes	complemented
41	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
42	#470	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#469	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#468	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#467	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#466	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#465	C₂²	1	16	yes	complemented
48	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
52	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#417	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
58	C₂×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#41	—	2	2	no	—
60	C₂×#41	—	2	2	no	—
61	C₂×#41	—	2	4	no	—
62	C₂×#41	—	2	8	no	—
63	C₂×#41	—	2	8	no	—
64	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#135	—	2	8	no	—
80	#135	—	2	8	no	—
81	#135	—	2	8	no	—
82	#135	—	2	8	no	—
83	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
84	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
87	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×D₈	—	2	4	no	—
90	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
92	#131	—	2	8	no	—
93	#131	—	2	8	no	—
94	#131	—	2	8	no	—
95	#131	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
104	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
114	#127	—	2	4	no	—
115	#124	—	2	4	no	—
116	#124	—	2	4	no	—
117	#123	—	2	8	no	—
118	#123	—	2	8	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
120	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
121	#121	—	2	8	no	—
122	#121	—	2	16	no	—
123	#121	C₂³	1	16	yes	—
124	#120	—	2	8	no	—
125	#120	—	2	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	16	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	C₂³	1	4	yes	—
130	#117	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	#107	C₂³	1	4	yes	—
135	#107	C₂³	1	4	yes	—
136	#106	C₂³	1	4	yes	—
137	#106	C₂³	1	4	yes	—
138	#103	C₂³	1	16	yes	—
139	#102	C₂³	1	16	yes	—
140	C₂⁴	—	2	2	no	—
141	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	#41	—	2	8	no	—
144	#41	—	2	8	no	—
145	#41	—	2	4	no	—
146	#41	—	2	4	no	—
147	#41	—	2	4	no	—
148	#41	—	2	4	no	—
149	#41	—	2	8	no	—
150	#41	—	2	8	no	—
151	#41	—	2	8	no	—
152	#41	—	2	8	no	—
153	#41	—	4	8	no	—
154	#41	—	4	8	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	2	16	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	2	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	Q₁₆	—	2	4	no	—
195	Q₁₆	—	2	4	no	—
196	SD₁₆	—	2	8	no	—
197	SD₁₆	—	2	8	no	—
198	D₈	—	2	4	no	—
199	D₈	—	2	4	no	—
200	M₁₆	—	2	4	no	—
201	M₁₆	—	2	4	no	—
202	M₁₆	—	2	8	no	—
203	M₁₆	—	2	8	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	8	no	—
206	C₂×C₈	—	2	8	no	—
207	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
214	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	4	2	no	—
230	C₂³	—	4	4	no	—
231	C₂³	—	4	4	no	—
232	C₂³	—	8	4	no	—
233	C₂³	#121	1	4	yes	—
234	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
235	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	Q₈	—	2	4	no	—
239	Q₈	—	2	4	no	—
240	Q₈	—	2	4	no	—
241	Q₈	—	2	4	no	—
242	Q₈	—	4	4	no	—
243	D₄	—	2	8	no	—
244	D₄	—	2	8	no	—
245	D₄	—	2	4	no	—
246	D₄	—	2	4	no	—
247	D₄	—	2	4	no	—
248	D₄	—	2	4	no	—
249	D₄	—	4	8	no	—
250	D₄	—	4	8	no	—
251	D₄	—	4	4	no	—
252	D₄	—	8	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
277	C₈	—	2	4	no	—
278	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	2	no	—
285	C₂²	—	2	8	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	8	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	8	8	no	—
292	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
293	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
295	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄	—	2	4	no	—
297	C₄	—	4	8	no	—
298	C₄	—	4	4	no	—
299	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
300	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
301	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
302	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
304	C₂	—	2	2	no	—
305	C₂	—	2	2	no	—
306	C₂	—	2	2	no	—
307	C₂	—	4	4	no	—
308	C₂	—	8	4	no	—
309	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#3584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#135	C₂	semidirect
2. C₂²×#131	C₂	semidirect
3. #3449	C₂	semidirect
4. #3061	C₂	semidirect
5. #3060	C₂	semidirect
6. #3059	C₂	semidirect
7. #3058	C₂	semidirect
8. #3057	C₂	semidirect
9. #3054	C₂	semidirect
10. #3050	C₂	semidirect
11. C₂×#427	C₂	semidirect
12. #2896	C₂	semidirect
18. C₂×#135	C₂²	semidirect
19. C₂×#135	C₂²	semidirect
20. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
21. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
22. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
26. C₂×#131	C₂²	semidirect
27. C₂×#131	C₂²	semidirect
29. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
31. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
32. #537	C₂²	semidirect
40. #525	C₂²	semidirect
42. #470	C₂²	semidirect
43. #469	C₂²	semidirect
44. #468	C₂²	semidirect
45. #467	C₂²	semidirect
46. #466	C₂²	semidirect
47. #465	C₂²	semidirect
48. #427	C₂²	semidirect
49. #427	C₂²	semidirect
50. #427	C₂²	semidirect
51. #427	C₂²	semidirect
52. C₂×#107	C₂²	semidirect
53. C₂×#106	C₂²	semidirect
54. #419	C₂²	semidirect
55. #418	C₂²	semidirect
56. #417	C₂²	semidirect
57. #416	C₂²	semidirect
103. C₂²×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂²×#131	2
#3449	2
#3061	2
#3060	2
#3059	2
#3058	2
#3057	2
#3054	2
#3050	2
C₂×#427	2
#2896	2