Subgroups — #60455

Order 256.

1339 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3063	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3059	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3057	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3056	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#2911	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#419	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#137	—	2	8	no	—
16	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#568	—	2	8	no	—
21	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#537	C₂²	1	4	yes	—
27	#536	—	2	2	no	—
28	#536	—	2	2	no	—
29	#536	—	2	1	no	—
30	#536	C₂²	1	4	yes	—
31	#536	C₂²	1	2	yes	—
32	#536	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#535	—	2	1	no	—
34	#535	C₂²	1	2	yes	—
35	#534	—	2	2	no	—
36	#532	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂×#124	—	2	1	no	—
39	#525	—	2	2	no	—
40	#525	C₂²	1	4	yes	—
41	C₂×#123	—	2	2	no	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
43	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#470	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#468	C₂²	1	16	yes	complemented
47	#467	C₂²	1	16	yes	complemented
48	#465	C₂²	1	16	yes	complemented
49	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#427	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#417	C₂²	1	4	yes	—
57	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₂×#41	—	2	4	no	—
60	C₂×#41	—	2	1	no	—
61	C₂×#41	—	2	1	no	—
62	C₂×#41	—	2	4	no	—
63	C₂×#41	—	2	4	no	—
64	C₂×#41	—	2	4	no	—
65	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
72	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
73	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
76	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#137	—	2	16	no	—
90	#137	—	2	16	no	—
91	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
92	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
95	#131	—	2	16	no	—
96	#131	—	2	16	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
99	C₂×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
100	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	#127	—	2	2	no	—
112	#124	—	2	2	no	—
113	#124	—	2	4	no	—
114	#124	—	2	4	no	—
115	#124	—	2	2	no	—
116	#123	—	2	8	no	—
117	#123	—	2	8	no	—
118	#123	—	2	4	no	—
119	#123	—	2	4	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
122	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	16	yes	—
123	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
124	#121	—	2	4	no	—
125	#121	—	2	8	no	—
126	#121	C₂³	1	8	yes	—
127	#120	—	2	4	no	—
128	#120	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	8	no	—
130	#117	—	2	1	no	—
131	#117	—	2	1	no	—
132	#117	—	2	1	no	—
133	#117	—	2	1	no	—
134	#117	C₂³	1	2	yes	—
135	#117	C₂³	1	2	yes	—
136	#117	C₂³	1	2	yes	—
137	#117	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	#107	C₂³	1	8	yes	—
147	#106	C₂³	1	8	yes	—
148	#103	C₂³	1	16	yes	—
149	#103	C₂³	1	8	yes	—
150	#102	C₂³	1	8	yes	—
151	C₂⁴	—	2	1	no	—
152	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	#41	—	2	8	no	—
155	#41	—	2	8	no	—
156	#41	—	2	4	no	—
157	#41	—	2	4	no	—
158	#41	—	2	4	no	—
159	#41	—	2	4	no	—
160	#41	—	2	4	no	—
161	#41	—	2	4	no	—
162	#41	—	2	4	no	—
163	#41	—	2	4	no	—
164	#41	—	4	4	no	—
165	#41	—	4	4	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	1	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	Q₁₆	—	2	16	no	—
224	SD₁₆	—	2	16	no	—
225	M₁₆	—	2	4	no	—
226	M₁₆	—	2	4	no	—
227	M₁₆	—	2	16	no	—
228	M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
229	M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	16	no	—
232	C₂×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
233	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
235	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	4	2	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	#121	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	Q₈	—	2	4	no	—
264	Q₈	—	2	4	no	—
265	Q₈	—	2	4	no	—
266	Q₈	—	2	2	no	—
267	Q₈	—	2	4	no	—
268	Q₈	—	2	2	no	—
269	Q₈	—	4	4	no	—
270	Q₈	—	4	4	no	—
271	Q₈	—	4	4	no	—
272	Q₈	—	4	2	no	—
273	D₄	—	2	8	no	—
274	D₄	—	2	8	no	—
275	D₄	—	2	4	no	—
276	D₄	—	2	4	no	—
277	D₄	—	2	2	no	—
278	D₄	—	2	2	no	—
279	D₄	—	4	4	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	8	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
313	C₈	—	2	4	no	—
314	C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
335	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
336	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
337	C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	2	2	no	—
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	—	4	4	no	—
343	C₂	—	8	2	no	—
344	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#3586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3449	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#137	C₂	semidirect
2. C₂×#568	C₂	semidirect
4. C₂×#536	C₂	semidirect
5. #3063	C₂	semidirect
6. #3059	C₂	semidirect
7. #3057	C₂	semidirect
8. #3056	C₂	semidirect
9. #2911	C₂	semidirect
10. #2896	C₂	semidirect
11. C₂×#419	C₂	semidirect
17. C₂×#137	C₂²	semidirect
18. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
19. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
22. C₂×#131	C₂²	semidirect
25. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
32. #536	C₂²	semidirect
42. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
45. #470	C₂²	semidirect
46. #468	C₂²	semidirect
47. #467	C₂²	semidirect
48. #465	C₂²	semidirect
49. #428	C₂²	semidirect
50. #428	C₂²	semidirect
51. #427	C₂²	semidirect
52. #419	C₂²	semidirect
53. #419	C₂²	semidirect
54. #419	C₂²	semidirect
55. #418	C₂²	semidirect
57. #416	C₂²	semidirect
58. C₂×#103	C₂²	semidirect
99. C₂×M₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#137	2
C₂×#568	2
#3449	2
C₂×#536	2
#3063	2
#3059	2
#3057	2
#3056	2
#2911	2
#2896	2
C₂×#419	2