Subgroups — C₂×#3096 #60512

Order 256.

1181 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 296 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3096	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#481	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#480	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#535	—	2	4	no	—
18	#535	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#127	—	2	1	no	—
20	C₂×#124	—	2	1	no	—
21	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#120	—	2	2	no	—
24	#520	—	2	4	no	—
25	#520	C₂²	1	8	yes	complemented
26	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
27	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
28	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
29	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#482	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#482	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#481	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#480	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#428	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#427	C₂²	1	8	yes	complemented
40	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#418	C₂²	1	8	yes	complemented
47	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
49	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
50	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
51	C₂×#102	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#408	C₂²	1	8	yes	complemented
53	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
55	C₂⁵	—	2	1	no	—
56	C₂×#41	—	2	4	no	—
57	C₂×#41	—	2	4	no	—
58	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
72	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	#127	—	2	8	no	—
83	#124	—	2	8	no	—
84	#121	—	2	4	no	—
85	#121	—	2	4	no	—
86	#121	C₂³	1	8	yes	—
87	#121	C₂³	1	8	yes	—
88	#120	—	2	16	no	—
89	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₄×D₄	—	2	8	no	—
91	C₄×D₄	—	2	16	no	—
92	#117	—	2	2	no	—
93	#117	—	2	2	no	—
94	#117	—	2	4	no	—
95	#117	C₂³	1	4	yes	—
96	#117	C₂³	1	4	yes	—
97	#117	C₂³	1	8	yes	complemented
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	#107	C₂³	1	4	yes	complemented
118	#107	C₂³	1	4	yes	complemented
119	#107	C₂³	1	8	yes	complemented
120	#106	C₂³	1	4	yes	complemented
121	#106	C₂³	1	4	yes	complemented
122	#106	C₂³	1	8	yes	complemented
123	#102	C₂³	1	8	yes	—
124	#102	C₂³	1	8	yes	—
125	#102	C₂³	1	8	yes	—
126	#102	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
128	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
129	C₂⁴	—	2	2	no	—
130	C₂⁴	—	2	4	no	—
131	C₂⁴	—	4	4	no	—
132	C₂⁴	—	8	2	no	—
133	C₂⁴	—	8	2	no	—
134	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#41	—	2	16	no	—
137	#41	—	2	8	no	—
138	#41	—	2	8	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	8	no	—
153	C₂×D₄	—	8	4	no	—
154	C₂×D₄	—	8	4	no	—
155	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	M₁₆	—	2	8	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	8	no	—
182	C₂×C₈	—	2	4	no	—
183	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄²	—	2	4	no	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	—	2	8	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	4	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	4	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	—	4	8	no	—
213	C₂³	—	4	4	no	—
214	C₂³	—	4	4	no	—
215	C₂³	—	4	4	no	—
216	C₂³	—	8	4	no	—
217	C₂³	—	8	4	no	—
218	C₂³	—	8	16	no	—
219	C₂³	#123	1	4	yes	—
220	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
221	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	Q₈	—	2	8	no	—
224	D₄	—	2	16	no	—
225	D₄	—	2	8	no	—
226	D₄	—	2	4	no	—
227	D₄	—	2	4	no	—
228	D₄	—	4	4	no	—
229	D₄	—	4	8	no	—
230	D₄	—	8	8	no	—
231	D₄	—	8	8	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂×C₄	—	8	8	no	—
248	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	#123	1	8	yes	—
250	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
258	C₈	—	2	2	no	—
259	C₈	—	2	2	no	—
260	C₈	—	2	4	no	—
261	C₂²	—	2	8	no	—
262	C₂²	—	2	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	2	4	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	4	8	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	8	16	no	—
272	C₂²	—	8	8	no	—
273	C₂²	C₂×#123	1	4	yes	—
274	C₂²	C₂×#123	1	2	yes	—
275	C₂²	#576	1	2	yes	—
276	C₂²	#577	1	2	yes	—
277	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄	—	2	4	no	—
279	C₄	—	4	2	no	—
280	C₄	—	4	4	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	4	2	no	—
283	C₄	—	4	2	no	—
284	C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
285	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
286	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₂	—	2	4	no	—
289	C₂	—	4	4	no	—
290	C₂	—	8	4	no	—
291	C₂	#3096	1	4	yes	direct product factor
292	C₂	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
293	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
294	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. #3096	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#481	C₂	semidirect
5. C₂×#482	C₂	semidirect
6. C₂×#482	C₂	semidirect
7. C₂×#480	C₂	semidirect
8. C₂×#428	C₂	semidirect
9. C₂×#427	C₂	semidirect
10. C₂×#418	C₂	semidirect
11. C₂²×#102	C₂	semidirect
12. C₂×#408	C₂	semidirect
25. #520	C₂²	semidirect
31. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. #482	C₂²	semidirect
35. #482	C₂²	semidirect
36. #481	C₂²	semidirect
37. #480	C₂²	semidirect
38. #428	C₂²	semidirect
39. #427	C₂²	semidirect
40. C₂×#107	C₂²	semidirect
41. C₂×#107	C₂²	semidirect
42. C₂×#107	C₂²	semidirect
43. C₂×#106	C₂²	semidirect
44. C₂×#106	C₂²	semidirect
45. C₂×#106	C₂²	semidirect
46. #418	C₂²	semidirect
51. C₂×#102	C₂²	semidirect
52. #408	C₂²	semidirect
53. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
54. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
97. #117	C₂³	semidirect
108. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
117. #107	C₂³	semidirect
118. #107	C₂³	semidirect
119. #107	C₂³	semidirect
120. #106	C₂³	semidirect
121. #106	C₂³	semidirect
122. #106	C₂³	semidirect
127. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
128. C₂²⋊C₈	C₂³	semidirect
291. C₂	#3096	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂×#520	2
#3096	2
C₂×#481	2
C₂×#482	2
C₂×#480	2
C₂×#428	2
C₂×#427	2
C₂×#418	2
C₂²×#102	2
C₂×#408	2

Subgroups — C2×#3096 #60512

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#3096 #60512