Subgroups — #60517

Order 256.

1089 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3099	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3098	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3097	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3096	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3093	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3092	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2911	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#537	C₂²	1	2	yes	—
19	#537	C₂²	1	2	yes	—
20	#536	—	2	1	no	—
21	#536	C₂²	1	2	yes	—
22	#535	—	2	1	no	—
23	#535	C₂²	1	2	yes	—
24	#534	—	2	2	no	—
25	#532	—	2	2	no	—
26	#525	—	2	2	no	—
27	#525	C₂²	1	4	yes	—
28	#520	—	2	2	no	—
29	#520	—	2	2	no	—
30	#520	C₂²	1	4	yes	—
31	#520	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
33	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#485	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#485	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#484	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#483	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#481	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#480	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#428	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#428	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#428	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#428	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#427	C₂²	1	4	yes	complemented
55	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
56	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#417	C₂²	1	2	yes	—
60	#417	C₂²	1	4	yes	—
61	#417	C₂²	1	2	yes	—
62	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
64	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#408	C₂²	1	4	yes	—
67	#408	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
69	C₂×#41	—	2	1	no	—
70	C₂×#41	—	2	1	no	—
71	C₂×#41	—	2	4	no	—
72	C₂×#41	—	2	4	no	—
73	C₂×#41	—	2	4	no	—
74	C₂×#41	—	2	4	no	—
75	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
84	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
101	#127	—	2	2	no	—
102	#124	—	2	2	no	—
103	#124	—	2	2	no	—
104	#123	—	2	4	no	—
105	#123	—	2	4	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#121	—	2	2	no	—
111	#121	—	2	2	no	—
112	#121	—	2	4	no	—
113	#121	—	2	4	no	—
114	#121	C₂³	1	4	yes	—
115	#121	C₂³	1	4	yes	—
116	#120	—	2	4	no	—
117	#120	—	2	4	no	—
118	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	8	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	8	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	1	no	—
127	#117	—	2	1	no	—
128	#117	—	2	1	no	—
129	#117	—	2	1	no	—
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	C₂³	1	2	yes	—
132	#117	C₂³	1	2	yes	—
133	#117	C₂³	1	2	yes	—
134	#117	C₂³	1	2	yes	—
135	#117	C₂³	1	8	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	#107	C₂³	1	8	yes	—
156	#107	C₂³	1	4	yes	—
157	#107	C₂³	1	4	yes	—
158	#106	C₂³	1	8	yes	—
159	#106	C₂³	1	4	yes	—
160	#106	C₂³	1	4	yes	—
161	#103	C₂³	1	8	yes	—
162	#103	C₂³	1	4	yes	—
163	#103	C₂³	1	4	yes	—
164	#102	C₂³	1	8	yes	—
165	#102	C₂³	1	4	yes	—
166	#102	C₂³	1	4	yes	—
167	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
168	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
169	C₂⁴	—	2	1	no	—
170	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	#41	—	2	8	no	—
173	#41	—	2	8	no	—
174	#41	—	2	4	no	—
175	#41	—	2	4	no	—
176	#41	—	2	4	no	—
177	#41	—	2	4	no	—
178	#41	—	2	4	no	—
179	#41	—	2	4	no	—
180	#41	—	2	4	no	—
181	#41	—	2	4	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	#41	—	4	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	1	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	2	4	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
255	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	4	1	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	1	no	—
275	C₂³	—	4	2	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	8	1	no	—
278	C₂³	—	8	1	no	—
279	C₂³	#123	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	2	4	no	—
285	Q₈	—	2	4	no	—
286	Q₈	—	2	2	no	—
287	Q₈	—	2	2	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	D₄	—	2	8	no	—
290	D₄	—	2	8	no	—
291	D₄	—	2	4	no	—
292	D₄	—	2	4	no	—
293	D₄	—	2	2	no	—
294	D₄	—	2	2	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	2	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	1	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	8	4	no	—
352	C₂²	C₂×#123	1	2	yes	—
353	C₂²	C₂×#123	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×#123	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
364	C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
365	C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
366	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
367	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
368	C₂	—	2	2	no	—
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	—	2	2	no	—
371	C₂	—	4	4	no	—
372	C₂	—	8	2	no	—
373	C₂	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3449	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. #3099	C₂	semidirect
4. #3098	C₂	semidirect
5. #3097	C₂	semidirect
6. #3096	C₂	semidirect
7. #3093	C₂	semidirect
8. #3092	C₂	semidirect
9. #2911	C₂	semidirect
10. C₂×#428	C₂	semidirect
11. #2896	C₂	semidirect
12. C₂×#417	C₂	semidirect
13. #2879	C₂	semidirect
31. #520	C₂²	semidirect
37. C₂×#117	C₂²	semidirect
39. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
40. #485	C₂²	semidirect
41. #485	C₂²	semidirect
42. #484	C₂²	semidirect
43. #483	C₂²	semidirect
44. #482	C₂²	semidirect
45. #482	C₂²	semidirect
46. #481	C₂²	semidirect
47. #480	C₂²	semidirect
48. #428	C₂²	semidirect
49. #428	C₂²	semidirect
50. #428	C₂²	semidirect
51. #428	C₂²	semidirect
52. #428	C₂²	semidirect
53. #428	C₂²	semidirect
54. #427	C₂²	semidirect
55. C₂×#107	C₂²	semidirect
56. C₂×#106	C₂²	semidirect
57. #419	C₂²	semidirect
58. #418	C₂²	semidirect
62. #417	C₂²	semidirect
63. #416	C₂²	semidirect
64. C₂×#103	C₂²	semidirect
65. C₂×#102	C₂²	semidirect
67. #408	C₂²	semidirect
68. #407	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3449	2
C₂×#520	2
#3099	2
#3098	2
#3097	2
#3096	2
#3093	2
#3092	2
#2911	2
C₂×#428	2
#2896	2
C₂×#417	2
#2879	2