Subgroups — C₂×#3136 #60610

Order 256.

1131 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 299 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#544	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#3136	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#490	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#489	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#488	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#544	—	2	4	no	—
18	#544	C₂²	1	8	yes	complemented
19	#535	—	2	4	no	—
20	#535	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#125	—	2	1	no	—
25	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
28	C₂×#121	—	2	1	no	—
29	C₂×#121	—	2	1	no	—
30	C₂×#120	—	2	2	no	—
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#490	C₂²	1	16	yes	complemented
35	#489	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#488	C₂²	1	16	yes	complemented
37	#486	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#418	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#417	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
41	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
43	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#102	C₂²	1	8	yes	complemented
49	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
51	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#405	C₂²	1	8	yes	complemented
53	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
54	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
55	C₂⁵	—	2	1	no	—
56	C₂×#41	—	2	2	no	—
57	C₂×#41	—	2	4	no	—
58	C₂×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
73	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
83	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
84	C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	complemented
85	#127	—	2	4	no	—
86	#127	C₂³	1	8	yes	—
87	#125	—	2	8	no	—
88	#125	—	2	4	no	—
89	#125	C₂³	1	8	yes	complemented
90	#124	—	2	4	no	—
91	#124	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
93	#121	—	2	8	no	—
94	#121	—	2	8	no	—
95	#120	—	2	16	no	—
96	#117	—	2	2	no	—
97	#117	D₄	1	4	yes	—
98	#117	C₂³	1	4	yes	—
99	#117	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
117	#103	C₂³	1	4	yes	complemented
118	#103	C₂³	1	4	yes	complemented
119	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
120	#102	C₂³	1	8	yes	—
121	#102	C₂³	1	8	yes	—
122	#102	C₂³	1	8	yes	—
123	#102	C₂³	1	8	yes	—
124	#102	C₂³	1	4	yes	complemented
125	#102	C₂³	1	4	yes	complemented
126	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
127	#97	C₂³	1	8	yes	complemented
128	C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
129	C₂⁴	—	2	2	no	—
130	C₂⁴	—	2	1	no	—
131	C₂⁴	—	2	4	no	—
132	C₂⁴	—	4	4	no	—
133	C₂⁴	—	8	2	no	—
134	C₂⁴	—	8	2	no	—
135	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#41	—	2	8	no	—
137	#41	—	2	8	no	—
138	#41	—	4	8	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
144	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	1	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	8	no	—
154	C₂×D₄	—	2	8	no	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	8	no	—
160	C₂×D₄	—	8	4	no	—
161	C₂×D₄	—	8	4	no	—
162	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	M₁₆	—	2	8	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	8	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	—	4	8	no	—
213	C₂³	—	4	4	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	4	4	no	—
216	C₂³	—	4	2	no	—
217	C₂³	—	4	4	no	—
218	C₂³	—	8	4	no	—
219	C₂³	—	8	4	no	—
220	C₂³	—	8	16	no	—
221	C₂³	#124	1	4	yes	—
222	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	Q₈	—	2	2	no	—
225	Q₈	—	2	2	no	—
226	Q₈	—	4	2	no	—
227	Q₈	—	8	8	no	—
228	D₄	—	2	4	no	—
229	D₄	—	2	4	no	—
230	D₄	—	2	2	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	4	8	no	—
233	D₄	—	4	8	no	—
234	D₄	—	4	4	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	—	8	8	no	—
237	D₄	—	8	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	8	no	—
249	C₂×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	#124	1	8	yes	—
252	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
261	C₈	—	2	2	no	—
262	C₈	—	2	2	no	—
263	C₈	—	2	4	no	—
264	C₂²	—	2	8	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	4	2	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	2	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	4	2	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	8	16	no	—
274	C₂²	—	8	4	no	—
275	C₂²	—	8	8	no	—
276	C₂²	C₂×#124	1	4	yes	—
277	C₂²	C₂×#124	1	2	yes	—
278	C₂²	#576	1	2	yes	—
279	C₂²	#577	1	2	yes	—
280	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	2	4	no	—
283	C₄	—	4	2	no	—
284	C₄	—	4	4	no	—
285	C₄	—	4	2	no	—
286	C₄	—	4	2	no	—
287	C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
288	C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
289	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
291	C₂	—	2	4	no	—
292	C₂	—	8	2	no	—
293	C₂	—	8	4	no	—
294	C₂	#3136	1	4	yes	direct product factor
295	C₂	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
296	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#544	C₂	semidirect
3. #3136	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#490	C₂	semidirect
5. C₂×#489	C₂	semidirect
6. C₂×#488	C₂	semidirect
7. C₂×#486	C₂	semidirect
8. C₂×#417	C₂	semidirect
9. C₂×#418	C₂	semidirect
10. C₂×#416	C₂	semidirect
11. C₂²×#102	C₂	semidirect
12. C₂×#405	C₂	semidirect
18. #544	C₂²	semidirect
22. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂×#125	C₂²	semidirect
34. #490	C₂²	semidirect
35. #489	C₂²	semidirect
36. #488	C₂²	semidirect
37. #486	C₂²	semidirect
38. #418	C₂²	semidirect
39. #417	C₂²	semidirect
40. #416	C₂²	semidirect
41. C₂×#103	C₂²	semidirect
42. C₂×#103	C₂²	semidirect
43. C₂×#103	C₂²	semidirect
48. C₂×#102	C₂²	semidirect
49. C₂×#102	C₂²	semidirect
50. C₂×#102	C₂²	semidirect
51. C₂×#102	C₂²	semidirect
52. #405	C₂²	semidirect
53. C₂×#97	C₂²	semidirect
54. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
84. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
89. #125	C₂³	semidirect
117. #103	C₂³	semidirect
118. #103	C₂³	semidirect
119. #103	C₂³	semidirect
124. #102	C₂³	semidirect
125. #102	C₂³	semidirect
126. #102	C₂³	semidirect
127. #97	C₂³	semidirect
128. C₄×C₈	C₂³	semidirect
294. C₂	#3136	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#544	2
C₂×#535	2
#3136	2
C₂×#490	2
C₂×#489	2
C₂×#488	2
C₂×#486	2
C₂×#417	2
C₂×#418	2
C₂×#416	2
C₂²×#102	2
C₂×#405	2

Subgroups — C2×#3136 #60610

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#3136 #60610