Subgroups — #60644

Order 256.

1675 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 271 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#575	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3155	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3154	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#3153	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3151	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#575	—	2	16	no	—
14	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
17	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#135	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	#537	—	2	2	no	—
26	#536	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#535	—	2	4	no	—
28	#535	C₂²	1	8	yes	complemented
29	#535	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#534	—	2	2	no	—
31	#532	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#525	—	2	4	no	—
35	C₂×#121	—	2	2	no	—
36	C₂×#120	—	2	2	no	—
37	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#497	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#496	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#496	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#495	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#493	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#492	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#405	C₂²	1	8	yes	complemented
45	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
46	C₂⁵	—	2	1	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	8	no	—
51	C₂×#41	—	2	8	no	—
52	C₂×#41	—	2	8	no	—
53	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
69	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#137	—	2	16	no	—
72	#137	—	2	16	no	—
73	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
74	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
75	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
76	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
77	#135	—	2	32	no	—
78	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
79	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
80	C₂×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
81	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
82	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
83	C₂×D₈	—	2	16	no	—
84	C₂×D₈	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	complemented
86	C₂×M₁₆	D₄	1	16	yes	complemented
87	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
91	#127	—	2	4	no	—
92	#127	C₂³	1	8	yes	—
93	#127	C₂³	1	4	yes	complemented
94	#124	—	2	4	no	—
95	#124	C₂³	1	8	yes	—
96	#124	C₂³	1	8	yes	complemented
97	#123	—	2	8	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	#121	—	2	8	no	—
100	#121	—	2	16	no	—
101	#121	—	2	8	no	—
102	#120	—	2	16	no	—
103	#120	—	2	8	no	—
104	C₄×D₄	—	2	8	no	—
105	#117	D₄	1	4	yes	—
106	#117	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
111	#97	C₂³	1	8	yes	complemented
112	C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	1	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	—	4	4	no	—
118	C₂⁴	—	8	4	no	—
119	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	#41	—	2	8	no	—
121	#41	—	2	8	no	—
122	#41	—	2	8	no	—
123	#41	—	2	8	no	—
124	#41	—	2	8	no	—
125	#41	—	2	8	no	—
126	#41	—	4	8	no	—
127	#41	—	4	8	no	—
128	#41	—	4	8	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	1	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	16	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	8	no	—
153	C₂×D₄	—	4	4	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	—	8	8	no	—
156	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	Q₁₆	—	2	16	no	—
173	SD₁₆	—	2	32	no	—
174	SD₁₆	—	2	16	no	—
175	SD₁₆	—	2	16	no	—
176	D₈	—	2	32	no	—
177	D₈	—	2	16	no	—
178	M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
179	M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
180	C₂×C₈	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
181	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
182	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	4	2	no	—
193	C₂³	—	4	4	no	—
194	C₂³	—	4	8	no	—
195	C₂³	—	4	2	no	—
196	C₂³	—	4	4	no	—
197	C₂³	—	4	4	no	—
198	C₂³	—	4	8	no	—
199	C₂³	—	8	4	no	—
200	C₂³	—	8	8	no	—
201	C₂³	—	8	16	no	—
202	C₂³	#127	1	4	yes	—
203	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
204	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	Q₈	—	2	4	no	—
206	Q₈	—	2	4	no	—
207	Q₈	—	2	4	no	—
208	Q₈	—	4	4	no	—
209	Q₈	—	4	2	no	—
210	D₄	—	2	4	no	—
211	D₄	—	2	8	no	—
212	D₄	—	2	4	no	—
213	D₄	—	2	4	no	—
214	D₄	—	4	8	no	—
215	D₄	—	4	8	no	—
216	D₄	—	4	8	no	—
217	D₄	—	4	8	no	—
218	D₄	—	4	4	no	—
219	D₄	—	4	4	no	—
220	D₄	—	4	2	no	—
221	D₄	—	8	8	no	—
222	D₄	—	8	16	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂×C₄	#127	1	4	yes	—
232	C₂×C₄	#127	1	8	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
237	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
240	C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
241	C₂²	—	2	2	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	4	4	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	8	no	—
246	C₂²	—	4	8	no	—
247	C₂²	—	4	4	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	—	4	4	no	—
250	C₂²	—	8	4	no	—
251	C₂²	—	8	8	no	—
252	C₂²	—	8	8	no	—
253	C₂²	—	8	16	no	—
254	C₂²	C₂×#127	1	4	yes	—
255	C₂²	C₂×#127	1	2	yes	—
256	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄	—	2	8	no	—
258	C₄	—	4	2	no	—
259	C₄	—	4	4	no	—
260	C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
261	C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
262	C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
263	C₂	—	2	2	no	—
264	C₂	—	2	4	no	—
265	C₂	—	8	2	no	—
266	C₂	—	8	4	no	—
267	C₂	—	8	4	no	—
268	C₂	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#3585	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#575	C₂	semidirect
2. C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
3. #3449	C₂	semidirect
4. C₂×#535	C₂	semidirect
5. #3155	C₂	semidirect
6. #3154	C₂	semidirect
7. #3153	C₂	semidirect
8. #3151	C₂	semidirect
9. #2873	C₂	semidirect
14. C₂×#137	C₂²	semidirect
15. C₂×#137	C₂²	semidirect
17. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
18. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
19. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
20. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
21. C₂×#135	C₂²	semidirect
22. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
23. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
26. #536	C₂²	semidirect
28. #535	C₂²	semidirect
29. #535	C₂²	semidirect
31. #532	C₂²	semidirect
32. C₂×#127	C₂²	semidirect
33. C₂×#124	C₂²	semidirect
38. #497	C₂²	semidirect
39. #496	C₂²	semidirect
40. #496	C₂²	semidirect
41. #495	C₂²	semidirect
42. #493	C₂²	semidirect
43. #492	C₂²	semidirect
44. #405	C₂²	semidirect
45. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
78. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
81. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
82. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
85. C₂×D₈	C₂³	semidirect
86. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
90. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
93. #127	C₂³	semidirect
96. #124	C₂³	semidirect
111. #97	C₂³	semidirect
112. C₄×C₈	C₂³	semidirect
179. M₁₆	C₂×D₄	semidirect
180. C₂×C₈	C₂×D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#575	2
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
#3449	2
C₂×#535	2
#3155	2
#3154	2
#3153	2
#3151	2
#2873	2