Subgroups — #60695

Order 256.

989 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3460	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3179	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#3176	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3171	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3155	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3062	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3061	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#544	C₂²	1	2	yes	—
24	#542	—	2	2	no	—
25	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#540	—	2	2	no	—
27	#540	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#538	—	2	4	no	—
29	#537	C₂²	1	2	yes	—
30	#535	C₂²	1	2	yes	—
31	#535	C₂²	1	2	yes	—
32	#532	—	2	2	no	—
33	#532	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#529	—	2	2	no	—
35	#529	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#525	—	2	4	no	—
37	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
40	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#496	C₂²	1	4	yes	—
44	#495	C₂²	1	2	yes	—
45	#493	C₂²	1	2	yes	—
46	#490	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#486	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#469	C₂²	1	4	yes	—
51	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#466	C₂²	1	2	yes	—
56	#466	C₂²	1	2	yes	—
57	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#466	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#442	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
65	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
67	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
68	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
69	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
70	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
73	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	#428	C₂²	1	2	yes	—
75	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#418	C₂²	1	2	yes	—
78	#417	C₂²	1	2	yes	—
79	#416	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
81	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
84	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
85	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
87	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
89	C₂×#41	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
95	#135	—	2	4	no	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×D₈	—	2	4	no	—
100	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
104	#131	—	2	4	no	—
105	#131	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
116	#127	—	2	2	no	—
117	#127	C₂³	1	4	yes	—
118	#126	—	2	4	no	—
119	#126	—	2	4	no	—
120	#125	—	2	2	no	—
121	#125	C₂³	1	4	yes	—
122	#124	—	2	2	no	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	—	2	4	no	—
125	#124	C₂³	1	4	yes	—
126	#123	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
134	#121	—	2	4	no	—
135	#121	—	2	2	no	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#121	—	2	2	no	—
138	#121	—	2	2	no	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	#121	—	2	4	no	—
141	#121	C₂³	1	4	yes	—
142	#121	C₂³	1	4	yes	—
143	#121	C₂³	1	4	yes	—
144	#120	—	2	4	no	—
145	#120	—	2	4	no	—
146	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
149	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
157	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
159	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
161	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
162	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
163	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	C₂³	1	2	yes	—
167	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	#117	C₂³	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
174	#107	C₂³	1	2	yes	—
175	#107	C₂³	1	2	yes	—
176	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
177	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	#107	C₂³	1	4	yes	—
179	#106	C₂³	1	2	yes	—
180	#106	C₂³	1	4	yes	—
181	#103	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	2	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#102	C₂³	1	4	yes	—
185	#102	C₂³	1	4	yes	—
186	#102	C₂³	1	2	yes	—
187	#102	C₂³	1	2	yes	—
188	#102	C₂³	1	4	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	#102	C₂³	1	4	yes	—
191	#97	C₂³	1	2	yes	—
192	#97	C₂³	1	2	yes	—
193	#97	C₂³	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	#41	—	2	2	no	—
203	#41	—	2	2	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	8	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	Q₁₆	—	2	2	no	—
237	SD₁₆	—	2	4	no	—
238	SD₁₆	—	2	8	no	—
239	D₈	—	2	4	no	—
240	D₈	—	2	4	no	—
241	D₈	—	2	2	no	—
242	D₈	—	2	8	no	—
243	M₁₆	—	2	2	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	#41	1	4	yes	complemented
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	#41	1	4	yes	complemented
251	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	8	2	no	—
299	C₂³	—	8	2	no	—
300	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	2	2	no	—
303	Q₈	—	2	2	no	—
304	Q₈	—	2	2	no	—
305	Q₈	—	8	4	no	—
306	D₄	—	2	4	no	—
307	D₄	—	2	2	no	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	2	2	no	—
310	D₄	—	2	4	no	—
311	D₄	—	2	2	no	—
312	D₄	—	4	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	2	no	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	2	1	no	—
347	C₈	—	2	1	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
350	C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
351	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	8	8	no	—
364	C₂²	#532	1	2	yes	—
365	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	#532	1	2	yes	—
377	C₄	#576	1	2	yes	—
378	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
379	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	4	2	no	—
382	C₂	—	8	2	no	—
383	C₂	—	8	4	no	—
384	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
385	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3460	C₂	semidirect
2. #3179	C₂	semidirect
3. #3176	C₂	semidirect
4. #3175	C₂	semidirect
5. #3171	C₂	semidirect
6. #3169	C₂	semidirect
7. #3168	C₂	semidirect
8. #3164	C₂	semidirect
9. #3155	C₂	semidirect
10. #3136	C₂	semidirect
11. #3062	C₂	semidirect
12. #3061	C₂	semidirect
13. #3058	C₂	semidirect
14. C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
15. C₄×#135	C₂	semidirect
16. C₂×C₄×D₈	C₂	semidirect
17. C₄×#131	C₂	semidirect
25. #542	C₂²	semidirect
27. #540	C₂²	semidirect
33. #532	C₂²	semidirect
35. #529	C₂²	semidirect
40. #501	C₂²	semidirect
41. #500	C₂²	semidirect
42. #499	C₂²	semidirect
46. #490	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #488	C₂²	semidirect
49. #486	C₂²	semidirect
51. #469	C₂²	semidirect
52. #468	C₂²	semidirect
53. #468	C₂²	semidirect
54. #467	C₂²	semidirect
57. #466	C₂²	semidirect
58. #466	C₂²	semidirect
59. #465	C₂²	semidirect
60. #442	C₂²	semidirect
61. #440	C₂²	semidirect
62. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
63. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
64. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
65. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
66. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
71. C₄×D₈	C₂²	semidirect
72. C₄×D₈	C₂²	semidirect
73. C₄×D₈	C₂²	semidirect
83. #405	C₂²	semidirect
84. #405	C₂²	semidirect
86. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
88. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
246. M₁₆	#41	semidirect
250. C₂×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3460	2
#3179	2
#3176	2
#3175	2
#3171	2
#3169	2
#3168	2
#3164	2
#3155	2
#3136	2
#3062	2
#3061	2
#3058	2
C₄×AGL(1,ℤ/8)	2
C₄×#135	2
C₂×C₄×D₈	2
C₄×#131	2