Subgroups — #60707

Order 256.

990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 397 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3494	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3180	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#3179	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3176	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3155	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3055	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×#466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2951	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2946	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#555	—	2	2	no	—
24	#553	—	2	2	no	—
25	#553	—	2	2	no	—
26	#551	—	2	4	no	—
27	#547	—	2	2	no	—
28	#546	—	2	4	no	—
29	#544	C₂²	1	2	yes	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#540	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#535	C₂²	1	2	yes	—
33	#532	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#529	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#525	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
37	#520	C₂²	1	2	yes	—
38	#518	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#493	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#490	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#486	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#466	C₂²	1	2	yes	—
55	#466	C₂²	1	2	yes	—
56	#466	C₂²	1	2	yes	—
57	#466	C₂²	1	2	yes	—
58	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	#466	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#465	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#465	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#442	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#442	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
68	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
70	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#428	C₂²	1	2	yes	—
75	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#418	C₂²	1	2	yes	—
78	#417	C₂²	1	2	yes	—
79	#416	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
81	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
86	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
87	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
89	C₂×#41	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
95	#135	—	2	4	no	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×D₈	—	2	4	no	—
100	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
118	#127	C₂³	1	4	yes	—
119	#126	—	2	4	no	—
120	#126	—	2	4	no	—
121	#125	—	2	2	no	—
122	#125	C₂³	1	4	yes	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	—	2	4	no	—
125	#124	C₂³	1	4	yes	—
126	#123	—	2	2	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	#123	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
135	#121	—	2	2	no	—
136	#121	—	2	2	no	—
137	#121	—	2	4	no	—
138	#121	—	2	2	no	—
139	#121	—	2	2	no	—
140	#121	—	2	4	no	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	C₂³	1	4	yes	—
143	#121	C₂³	1	4	yes	—
144	#121	C₂³	1	2	yes	—
145	#121	C₂³	1	2	yes	—
146	#120	—	2	2	no	—
147	#120	—	2	4	no	—
148	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	—	2	2	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
157	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
158	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	D₄	1	2	yes	—
162	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
163	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
164	#117	C₂³	1	2	yes	—
165	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	#117	C₂³	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
176	#107	C₂³	1	2	yes	—
177	#107	C₂³	1	2	yes	—
178	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	#107	C₂³	1	4	yes	—
181	#106	C₂³	1	2	yes	—
182	#106	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	2	yes	—
185	#103	C₂³	1	4	yes	—
186	#102	C₂³	1	4	yes	—
187	#102	C₂³	1	4	yes	—
188	#102	C₂³	1	2	yes	—
189	#102	C₂³	1	2	yes	—
190	#102	C₂³	1	4	yes	—
191	#102	C₂³	1	4	yes	—
192	#102	C₂³	1	4	yes	—
193	#97	C₂³	1	2	yes	—
194	#97	C₂³	1	2	yes	—
195	#97	C₂³	1	2	yes	—
196	#97	C₂³	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	8	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	8	4	no	—
219	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	Q₁₆	—	2	2	no	—
237	SD₁₆	—	2	4	no	—
238	SD₁₆	—	2	8	no	—
239	D₈	—	2	4	no	—
240	D₈	—	2	4	no	—
241	D₈	—	2	2	no	—
242	D₈	—	2	8	no	—
243	M₁₆	—	2	2	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	#41	1	4	yes	complemented
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	#41	1	4	yes	complemented
253	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
274	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
289	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
296	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	4	1	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	2	no	—
309	Q₈	—	2	2	no	—
310	Q₈	—	8	4	no	—
311	D₄	—	2	4	no	—
312	D₄	—	2	2	no	—
313	D₄	—	2	4	no	—
314	D₄	—	2	2	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	8	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
351	C₈	—	2	1	no	—
352	C₈	—	2	1	no	—
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
355	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
356	C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	16	4	no	—
372	C₂²	#532	1	2	yes	—
373	C₂²	#576	1	2	yes	—
374	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	#532	1	2	yes	—
386	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
387	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	4	1	no	—
391	C₂	—	8	2	no	—
392	C₂	—	8	4	no	—
393	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
394	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3494	C₂	semidirect
2. #3180	C₂	semidirect
3. #3179	C₂	semidirect
4. #3176	C₂	semidirect
5. #3175	C₂	semidirect
6. #3169	C₂	semidirect
7. #3168	C₂	semidirect
8. #3164	C₂	semidirect
9. #3155	C₂	semidirect
10. #3136	C₂	semidirect
11. #3055	C₂	semidirect
12. #3050	C₂	semidirect
13. C₂×#466	C₂	semidirect
14. #2951	C₂	semidirect
15. #2948	C₂	semidirect
16. #2946	C₂	semidirect
17. C₂×#405	C₂	semidirect
30. #542	C₂²	semidirect
31. #540	C₂²	semidirect
33. #532	C₂²	semidirect
34. #529	C₂²	semidirect
40. #501	C₂²	semidirect
41. #500	C₂²	semidirect
42. #499	C₂²	semidirect
43. #496	C₂²	semidirect
44. #495	C₂²	semidirect
45. #493	C₂²	semidirect
46. #490	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #488	C₂²	semidirect
49. #486	C₂²	semidirect
50. #469	C₂²	semidirect
51. #468	C₂²	semidirect
52. #467	C₂²	semidirect
53. #467	C₂²	semidirect
58. #466	C₂²	semidirect
59. #466	C₂²	semidirect
60. #466	C₂²	semidirect
61. #465	C₂²	semidirect
62. #465	C₂²	semidirect
63. #465	C₂²	semidirect
64. #442	C₂²	semidirect
65. #442	C₂²	semidirect
66. #440	C₂²	semidirect
67. #440	C₂²	semidirect
68. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
69. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
70. C₄×D₈	C₂²	semidirect
71. C₄×D₈	C₂²	semidirect
72. C₄×D₈	C₂²	semidirect
73. C₄×D₈	C₂²	semidirect
85. #405	C₂²	semidirect
86. #405	C₂²	semidirect
87. C₂×#97	C₂²	semidirect
88. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
245. M₁₆	#41	semidirect
252. C₂×C₈	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3494	2
#3180	2
#3179	2
#3176	2
#3175	2
#3169	2
#3168	2
#3164	2
#3155	2
#3136	2
#3055	2
#3050	2
C₂×#466	2
#2951	2
#2948	2
#2946	2
C₂×#405	2