Subgroups — #60708

Order 256.

930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3181	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#3178	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3170	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3056	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2951	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2947	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#556	—	2	2	no	—
24	#554	—	2	2	no	—
25	#552	—	2	4	no	—
26	#552	—	2	2	no	—
27	#552	—	2	2	no	—
28	#551	—	2	4	no	—
29	#544	C₂²	1	2	yes	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	—
31	#541	C₂²	1	4	yes	—
32	#536	C₂²	1	2	yes	—
33	#533	C₂²	1	4	yes	—
34	#529	C₂²	1	4	yes	—
35	#525	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	#520	C₂²	1	2	yes	—
38	#519	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#491	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#487	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#470	C₂²	1	4	yes	—
51	#468	C₂²	1	4	yes	—
52	#467	C₂²	1	2	yes	—
53	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#467	C₂²	1	4	yes	—
55	#467	C₂²	1	2	yes	—
56	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#467	C₂²	1	2	yes	—
58	#467	C₂²	1	2	yes	—
59	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#465	C₂²	1	4	yes	—
62	#465	C₂²	1	2	yes	—
63	#465	C₂²	1	2	yes	—
64	#441	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#441	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
68	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
72	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
73	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#428	C₂²	1	2	yes	—
75	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#419	C₂²	1	2	yes	—
78	#417	C₂²	1	2	yes	—
79	#416	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
81	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#405	C₂²	1	2	yes	—
84	#405	C₂²	1	2	yes	—
85	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
89	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#137	—	2	8	no	—
93	#135	—	2	4	no	—
94	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
117	#126	—	2	4	no	—
118	#126	—	2	4	no	—
119	#126	—	2	4	no	—
120	#126	—	2	4	no	—
121	#125	—	2	4	no	—
122	#125	—	2	4	no	—
123	#125	—	2	2	no	—
124	#125	—	2	4	no	—
125	#125	C₂³	1	4	yes	—
126	#124	—	2	4	no	—
127	#124	C₂³	1	4	yes	—
128	#123	—	2	2	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	#123	—	2	4	no	—
131	#123	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
143	#121	C₂³	1	2	yes	—
144	#121	C₂³	1	2	yes	—
145	#120	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
150	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
151	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
152	C₄×D₄	—	2	2	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
162	#117	D₄	1	2	yes	—
163	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
164	#117	C₂³	1	2	yes	—
165	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	#117	C₂³	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
176	#107	C₂³	1	2	yes	—
177	#107	C₂³	1	2	yes	—
178	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	#107	C₂³	1	4	yes	—
181	#106	C₂³	1	2	yes	—
182	#106	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	2	yes	—
186	#103	C₂³	1	2	yes	—
187	#103	C₂³	1	4	yes	—
188	#103	C₂³	1	4	yes	—
189	#103	C₂³	1	4	yes	—
190	#102	C₂³	1	2	yes	—
191	#102	C₂³	1	2	yes	—
192	#102	C₂³	1	4	yes	—
193	#97	C₂³	1	2	yes	—
194	#97	C₂³	1	2	yes	—
195	#97	C₂³	1	2	yes	—
196	#97	C₂³	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
201	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	Q₁₆	—	2	4	no	—
229	Q₁₆	—	2	4	no	—
230	Q₁₆	—	2	2	no	—
231	Q₁₆	—	2	8	no	—
232	SD₁₆	—	2	4	no	—
233	SD₁₆	—	2	8	no	—
234	D₈	—	2	2	no	—
235	M₁₆	—	2	2	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	#41	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
271	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
292	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
293	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	2	4	no	—
303	Q₈	—	2	2	no	—
304	Q₈	—	2	4	no	—
305	Q₈	—	2	2	no	—
306	Q₈	—	4	4	no	—
307	Q₈	—	8	4	no	—
308	D₄	—	2	2	no	—
309	D₄	—	2	2	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
341	C₈	—	2	1	no	—
342	C₈	—	2	1	no	—
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
345	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
346	C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	1	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	1	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	#532	1	2	yes	—
359	C₂²	#578	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	1	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	#532	1	2	yes	—
373	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
374	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	4	1	no	—
378	C₂	—	8	2	no	—
379	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3050	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3495	C₂	semidirect
2. #3181	C₂	semidirect
3. #3178	C₂	semidirect
4. #3177	C₂	semidirect
5. #3175	C₂	semidirect
6. #3170	C₂	semidirect
7. #3168	C₂	semidirect
8. #3164	C₂	semidirect
9. #3156	C₂	semidirect
10. #3137	C₂	semidirect
11. #3056	C₂	semidirect
13. C₂×#467	C₂	semidirect
14. #2951	C₂	semidirect
15. #2950	C₂	semidirect
16. #2947	C₂	semidirect
17. C₂×#405	C₂	semidirect
40. #501	C₂²	semidirect
41. #500	C₂²	semidirect
42. #499	C₂²	semidirect
43. #497	C₂²	semidirect
44. #495	C₂²	semidirect
45. #494	C₂²	semidirect
46. #491	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #488	C₂²	semidirect
49. #487	C₂²	semidirect
64. #441	C₂²	semidirect
65. #441	C₂²	semidirect
66. #440	C₂²	semidirect
67. #440	C₂²	semidirect
68. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
69. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
70. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
71. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
72. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
73. C₄×D₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3495	2
#3181	2
#3178	2
#3177	2
#3175	2
#3170	2
#3168	2
#3164	2
#3156	2
#3137	2
#3056	2
#3050	2
C₂×#467	2
#2951	2
#2950	2
#2947	2
C₂×#405	2