Subgroups — #60711

Order 256.

923 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3495	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3185	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3183	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3178	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3173	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3172	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3056	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3054	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	C₂×#470	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2952	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2950	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2947	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#556	—	2	2	no	—
24	#554	—	2	2	no	—
25	#552	—	2	4	no	—
26	#552	—	2	2	no	—
27	#552	—	2	2	no	—
28	#551	—	2	4	no	—
29	#544	C₂²	1	2	yes	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	—
31	#541	C₂²	1	4	yes	—
32	#536	C₂²	1	2	yes	—
33	#533	C₂²	1	4	yes	—
34	#529	C₂²	1	4	yes	—
35	#525	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	#520	C₂²	1	2	yes	—
38	#519	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#491	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#487	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#470	C₂²	1	2	yes	—
51	#470	C₂²	1	4	yes	—
52	#470	C₂²	1	2	yes	—
53	#470	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#470	C₂²	1	2	yes	—
55	#470	C₂²	1	2	yes	—
56	#470	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#469	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#469	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#468	C₂²	1	2	yes	—
60	#468	C₂²	1	4	yes	—
61	#468	C₂²	1	2	yes	—
62	#467	C₂²	1	4	yes	—
63	#465	C₂²	1	4	yes	—
64	#442	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#441	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#441	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#441	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#441	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
70	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
72	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
73	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#428	C₂²	1	2	yes	—
75	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#419	C₂²	1	2	yes	—
78	#417	C₂²	1	2	yes	—
79	#416	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
81	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	#405	C₂²	1	2	yes	—
84	#405	C₂²	1	2	yes	—
85	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
88	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
89	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#137	—	2	8	no	—
93	#135	—	2	4	no	—
94	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
117	#126	—	2	4	no	—
118	#126	—	2	4	no	—
119	#126	—	2	4	no	—
120	#126	—	2	4	no	—
121	#125	—	2	4	no	—
122	#125	—	2	4	no	—
123	#125	—	2	2	no	—
124	#125	—	2	4	no	—
125	#125	C₂³	1	4	yes	—
126	#124	—	2	4	no	—
127	#124	C₂³	1	4	yes	—
128	#123	—	2	2	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	#123	—	2	4	no	—
131	#123	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
143	#121	C₂³	1	2	yes	—
144	#121	C₂³	1	2	yes	—
145	#120	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
148	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
150	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
151	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
152	C₄×D₄	—	2	2	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	D₄	1	2	yes	—
162	#117	D₄	1	2	yes	—
163	#117	C₂³	1	2	yes	—
164	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#117	C₂³	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
174	#107	C₂³	1	2	yes	—
175	#107	C₂³	1	4	yes	—
176	#106	C₂³	1	2	yes	—
177	#106	C₂³	1	2	yes	—
178	#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	#106	C₂³	1	4	yes	—
181	#103	C₂³	1	4	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	2	yes	—
185	#103	C₂³	1	4	yes	—
186	#103	C₂³	1	4	yes	—
187	#103	C₂³	1	4	yes	—
188	#102	C₂³	1	2	yes	—
189	#102	C₂³	1	2	yes	—
190	#102	C₂³	1	4	yes	—
191	#97	C₂³	1	2	yes	—
192	#97	C₂³	1	2	yes	—
193	#97	C₂³	1	2	yes	—
194	#97	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
197	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
199	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
207	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	Q₁₆	—	2	4	no	—
226	Q₁₆	—	2	4	no	—
227	Q₁₆	—	2	2	no	—
228	Q₁₆	—	2	8	no	—
229	SD₁₆	—	2	4	no	—
230	SD₁₆	—	2	8	no	—
231	D₈	—	2	2	no	—
232	M₁₆	—	2	2	no	—
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	2	2	no	—
235	M₁₆	—	2	2	no	—
236	M₁₆	—	2	2	no	—
237	M₁₆	—	2	2	no	—
238	M₁₆	#41	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	#41	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
264	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
265	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
278	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
285	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	2	4	no	—
294	Q₈	—	2	2	no	—
295	Q₈	—	2	4	no	—
296	Q₈	—	2	2	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	Q₈	—	8	4	no	—
299	D₄	—	2	2	no	—
300	D₄	—	2	2	no	—
301	D₄	—	4	4	no	—
302	D₄	—	4	4	no	—
303	D₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	1	no	—
330	C₈	—	2	1	no	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	C₂×#41	1	4	yes	—
333	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
334	C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	#532	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	4	no	—
355	C₄	#532	1	2	yes	—
356	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	2	2	no	—
359	C₂	—	4	1	no	—
360	C₂	—	4	1	no	—
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#3586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3054	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3495	C₂	semidirect
2. #3185	C₂	semidirect
3. #3183	C₂	semidirect
4. #3178	C₂	semidirect
5. #3177	C₂	semidirect
6. #3173	C₂	semidirect
7. #3172	C₂	semidirect
8. #3163	C₂	semidirect
9. #3156	C₂	semidirect
10. #3137	C₂	semidirect
11. #3056	C₂	semidirect
13. C₂×#470	C₂	semidirect
14. #2952	C₂	semidirect
15. #2950	C₂	semidirect
16. #2947	C₂	semidirect
17. #2873	C₂	semidirect
40. #501	C₂²	semidirect
41. #499	C₂²	semidirect
42. #498	C₂²	semidirect
43. #497	C₂²	semidirect
44. #495	C₂²	semidirect
45. #494	C₂²	semidirect
46. #491	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #488	C₂²	semidirect
49. #487	C₂²	semidirect
64. #442	C₂²	semidirect
65. #441	C₂²	semidirect
66. #441	C₂²	semidirect
67. #441	C₂²	semidirect
68. #441	C₂²	semidirect
69. #440	C₂²	semidirect
70. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
71. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
72. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
73. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3495	2
#3185	2
#3183	2
#3178	2
#3177	2
#3173	2
#3172	2
#3163	2
#3156	2
#3137	2
#3056	2
#3054	2
C₂×#470	2
#2952	2
#2950	2
#2947	2
#2873	2