Subgroups — #60722

Order 256.

1003 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3184	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3179	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3167	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3062	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2946	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
17	#559	—	2	1	no	—
18	#559	—	2	1	no	—
19	#556	—	2	1	no	—
20	#555	—	2	1	no	—
21	#554	—	2	1	no	—
22	#553	—	2	2	no	—
23	#550	—	2	1	no	—
24	#550	—	2	1	no	—
25	#548	—	2	2	no	—
26	#547	—	2	1	no	—
27	#546	—	2	2	no	—
28	#546	—	2	2	no	—
29	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#540	C₂²	1	4	yes	—
31	#537	C₂²	1	2	yes	—
32	#535	C₂²	1	2	yes	—
33	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#533	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#532	C₂²	1	2	yes	—
37	#532	C₂²	1	2	yes	—
38	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#520	C₂²	1	2	yes	—
42	#518	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#496	C₂²	1	4	yes	—
48	#493	C₂²	1	2	yes	—
49	#492	C₂²	1	2	yes	—
50	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	#486	C₂²	1	2	yes	—
54	#486	C₂²	1	4	yes	—
55	#486	C₂²	1	2	yes	—
56	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
58	#469	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
60	#466	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#465	C₂²	1	8	yes	complemented
62	#442	C₂²	1	8	yes	complemented
63	#440	C₂²	1	8	yes	complemented
64	C₄×SD₁₆	C₂²	1	8	yes	complemented
65	C₄×D₈	C₂²	1	8	yes	complemented
66	#428	C₂²	1	4	yes	—
67	#416	C₂²	1	4	yes	—
68	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
69	#405	C₂²	1	2	yes	—
70	#405	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	2	no	—
78	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
85	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
87	#131	—	2	8	no	—
88	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
92	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
94	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#127	—	2	2	no	—
100	#127	—	2	1	no	—
101	#127	—	2	1	no	—
102	#127	C₂³	1	2	yes	—
103	#127	C₂³	1	2	yes	—
104	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#126	—	2	4	no	—
106	#125	—	2	2	no	—
107	#125	C₂³	1	2	yes	—
108	#124	—	2	2	no	—
109	#124	—	2	4	no	—
110	#124	—	2	2	no	—
111	#124	—	2	2	no	—
112	#124	—	2	2	no	—
113	#124	C₂³	1	2	yes	—
114	#123	—	2	4	no	—
115	#123	—	2	4	no	—
116	#123	—	2	4	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
123	#121	—	2	2	no	—
124	#121	—	2	4	no	—
125	#121	—	2	2	no	—
126	#121	—	2	2	no	—
127	#121	—	2	1	no	—
128	#121	—	2	1	no	—
129	#121	—	2	2	no	—
130	#121	—	2	4	no	—
131	#121	—	2	4	no	—
132	#121	C₂³	1	4	yes	—
133	#121	C₂³	1	4	yes	—
134	#121	C₂³	1	4	yes	—
135	#120	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	1	no	—
148	C₄×D₄	—	2	1	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
151	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
152	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	C₂³	1	2	yes	—
160	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	#117	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
168	#107	C₂³	1	8	yes	—
169	#106	C₂³	1	8	yes	—
170	#103	C₂³	1	4	yes	—
171	#103	C₂³	1	4	yes	—
172	#102	C₂³	1	8	yes	—
173	#102	C₂³	1	8	yes	—
174	#102	C₂³	1	4	yes	—
175	#102	C₂³	1	4	yes	—
176	#97	C₂³	1	2	yes	—
177	#97	C₂³	1	4	yes	—
178	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	8	4	no	—
187	#41	—	8	4	no	—
188	#41	—	8	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
194	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	1	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	1	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	8	2	no	—
209	C₂×D₄	—	8	2	no	—
210	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	SD₁₆	—	2	16	no	—
226	D₈	—	2	16	no	—
227	M₁₆	—	2	8	no	—
228	M₁₆	#41	1	8	yes	complemented
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	2	2	no	—
282	Q₈	—	2	4	no	—
283	Q₈	—	4	4	no	—
284	Q₈	—	4	2	no	—
285	Q₈	—	4	2	no	—
286	Q₈	—	8	2	no	—
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	2	2	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	2	8	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	4	2	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	16	4	no	—
341	C₂²	#532	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	#532	1	2	yes	—
353	C₄	#576	1	2	yes	—
354	C₄	#577	1	2	yes	—
355	C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
356	C₂	—	2	2	no	—
357	C₂	—	4	2	no	—
358	C₂	—	8	2	no	—
359	C₂	—	8	4	no	—
360	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
362	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3511	C₂	semidirect
2. #3508	C₂	semidirect
3. #3184	C₂	semidirect
4. #3182	C₂	semidirect
5. #3179	C₂	semidirect
6. #3169	C₂	semidirect
7. #3167	C₂	semidirect
8. #3165	C₂	semidirect
9. #3151	C₂	semidirect
10. #3131	C₂	semidirect
11. C₂×#486	C₂	semidirect
12. #3062	C₂	semidirect
13. #2946	C₂	semidirect
14. C₄×#131	C₂	semidirect
29. #542	C₂²	semidirect
34. #533	C₂²	semidirect
38. #532	C₂²	semidirect
44. #501	C₂²	semidirect
45. #500	C₂²	semidirect
46. #498	C₂²	semidirect
50. #488	C₂²	semidirect
51. #487	C₂²	semidirect
52. #487	C₂²	semidirect
56. #486	C₂²	semidirect
57. #486	C₂²	semidirect
58. #469	C₂²	semidirect
59. #468	C₂²	semidirect
60. #466	C₂²	semidirect
61. #465	C₂²	semidirect
62. #442	C₂²	semidirect
63. #440	C₂²	semidirect
64. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
65. C₄×D₈	C₂²	semidirect
70. #405	C₂²	semidirect
72. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
74. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
228. M₁₆	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
#3508	2
#3184	2
#3182	2
#3179	2
#3169	2
#3167	2
#3165	2
#3151	2
#3131	2
C₂×#486	2
#3062	2
#2946	2
C₄×#131	2