Subgroups — #60723

Order 256.

943 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3185	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3178	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3170	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3167	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#487	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3063	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2947	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
17	#557	—	2	1	no	—
18	#557	—	2	1	no	—
19	#556	—	2	1	no	—
20	#556	—	2	1	no	—
21	#556	—	2	1	no	—
22	#555	—	2	1	no	—
23	#554	—	2	1	no	—
24	#553	—	2	2	no	—
25	#552	—	2	2	no	—
26	#552	—	2	2	no	—
27	#548	—	2	2	no	—
28	#547	—	2	1	no	—
29	#542	C₂²	1	4	yes	—
30	#541	C₂²	1	4	yes	—
31	#537	C₂²	1	2	yes	—
32	#536	C₂²	1	2	yes	—
33	#533	C₂²	1	2	yes	—
34	#533	C₂²	1	2	yes	—
35	#533	C₂²	1	2	yes	—
36	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#532	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#520	C₂²	1	2	yes	—
42	#519	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#501	C₂²	1	4	yes	—
45	#500	C₂²	1	2	yes	—
46	#498	C₂²	1	2	yes	—
47	#497	C₂²	1	4	yes	—
48	#494	C₂²	1	2	yes	—
49	#492	C₂²	1	2	yes	—
50	#488	C₂²	1	4	yes	—
51	#487	C₂²	1	2	yes	—
52	#487	C₂²	1	4	yes	—
53	#487	C₂²	1	2	yes	—
54	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#470	C₂²	1	8	yes	—
59	#468	C₂²	1	8	yes	—
60	#467	C₂²	1	8	yes	—
61	#465	C₂²	1	8	yes	—
62	#441	C₂²	1	8	yes	—
63	#440	C₂²	1	8	yes	—
64	C₄×Q₁₆	C₂²	1	8	yes	—
65	C₄×SD₁₆	C₂²	1	8	yes	—
66	#428	C₂²	1	4	yes	—
67	#416	C₂²	1	4	yes	—
68	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
69	#405	C₂²	1	4	yes	—
70	#405	C₂²	1	2	yes	—
71	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
80	#137	—	2	16	no	—
81	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
83	#131	—	2	8	no	—
84	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
89	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
90	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
91	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
92	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
93	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#126	—	2	4	no	—
102	#126	—	2	4	no	—
103	#126	—	2	4	no	—
104	#125	—	2	4	no	—
105	#125	—	2	4	no	—
106	#125	—	2	2	no	—
107	#125	—	2	2	no	—
108	#125	—	2	2	no	—
109	#125	C₂³	1	2	yes	—
110	#124	—	2	2	no	—
111	#124	—	2	4	no	—
112	#124	—	2	2	no	—
113	#124	C₂³	1	2	yes	—
114	#123	—	2	4	no	—
115	#123	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
126	#121	—	2	2	no	—
127	#121	—	2	4	no	—
128	#121	—	2	1	no	—
129	#121	—	2	1	no	—
130	#121	—	2	2	no	—
131	#121	C₂³	1	4	yes	—
132	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	1	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	1	no	—
148	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
150	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
151	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	C₂³	1	2	yes	—
159	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	#117	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
168	#107	C₂³	1	8	yes	—
169	#106	C₂³	1	8	yes	—
170	#103	C₂³	1	8	yes	—
171	#103	C₂³	1	8	yes	—
172	#103	C₂³	1	4	yes	—
173	#103	C₂³	1	4	yes	—
174	#102	C₂³	1	4	yes	—
175	#102	C₂³	1	4	yes	—
176	#97	C₂³	1	4	yes	—
177	#97	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
182	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	#41	—	2	4	no	—
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	8	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	1	no	—
199	C₂×D₄	—	2	1	no	—
200	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
201	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	Q₁₆	—	2	16	no	—
214	SD₁₆	—	2	16	no	—
215	M₁₆	—	2	8	no	—
216	M₁₆	#41	1	8	yes	complemented
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	Q₈	—	2	2	no	—
274	Q₈	—	2	8	no	—
275	Q₈	—	2	4	no	—
276	Q₈	—	4	4	no	—
277	Q₈	—	4	2	no	—
278	Q₈	—	4	4	no	—
279	Q₈	—	4	2	no	—
280	Q₈	—	8	2	no	—
281	D₄	—	2	4	no	—
282	D₄	—	2	2	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	2	no	—
286	D₄	—	4	2	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
312	C₈	—	2	2	no	—
313	C₈	—	2	2	no	—
314	C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
315	C₂²	—	2	1	no	—
316	C₂²	—	2	1	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	#532	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	1	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	1	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₄	—	4	4	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	#532	1	2	yes	—
336	C₄	#577	1	2	yes	—
337	C₄	#578	1	2	yes	—
338	C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	4	2	no	—
341	C₂	—	8	2	no	—
342	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3511	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3509	C₂	semidirect
3. #3185	C₂	semidirect
4. #3182	C₂	semidirect
5. #3178	C₂	semidirect
6. #3170	C₂	semidirect
7. #3167	C₂	semidirect
8. #3165	C₂	semidirect
9. #3152	C₂	semidirect
10. #3131	C₂	semidirect
11. C₂×#487	C₂	semidirect
12. #3063	C₂	semidirect
13. #2947	C₂	semidirect
14. C₄×#131	C₂	semidirect
216. M₁₆	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
#3509	2
#3185	2
#3182	2
#3178	2
#3170	2
#3167	2
#3165	2
#3152	2
#3131	2
C₂×#487	2
#3063	2
#2947	2
C₄×#131	2