Subgroups — #60726

Order 256.

921 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 271 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3512	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3181	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3177	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3174	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3172	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#491	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3063	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2947	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
16	#557	—	2	2	no	—
17	#556	—	2	2	no	—
18	#553	—	2	4	no	—
19	#553	—	2	2	no	—
20	#552	—	2	2	no	—
21	#552	—	2	4	no	—
22	#541	C₂²	1	4	yes	—
23	#541	C₂²	1	2	yes	—
24	#540	C₂²	1	2	yes	—
25	#537	C₂²	1	2	yes	—
26	#536	C₂²	1	2	yes	—
27	#533	C₂²	1	4	yes	—
28	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#529	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#520	C₂²	1	2	yes	—
34	#519	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#501	C₂²	1	4	yes	—
37	#499	C₂²	1	4	yes	—
38	#497	C₂²	1	4	yes	—
39	#494	C₂²	1	2	yes	—
40	#492	C₂²	1	2	yes	—
41	#491	C₂²	1	2	yes	—
42	#491	C₂²	1	4	yes	—
43	#491	C₂²	1	2	yes	—
44	#491	C₂²	1	2	yes	—
45	#490	C₂²	1	2	yes	—
46	#489	C₂²	1	2	yes	—
47	#489	C₂²	1	2	yes	—
48	#470	C₂²	1	8	yes	—
49	#468	C₂²	1	8	yes	—
50	#467	C₂²	1	8	yes	—
51	#465	C₂²	1	8	yes	—
52	#441	C₂²	1	8	yes	—
53	#440	C₂²	1	8	yes	—
54	C₄×Q₁₆	C₂²	1	8	yes	—
55	C₄×SD₁₆	C₂²	1	8	yes	—
56	#428	C₂²	1	4	yes	—
57	#416	C₂²	1	4	yes	—
58	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
59	#405	C₂²	1	4	yes	—
60	#405	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
65	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	#137	—	2	16	no	—
69	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
71	#131	—	2	8	no	—
72	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
76	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
77	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
78	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
82	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#126	—	2	8	no	—
84	#126	—	2	4	no	—
85	#126	—	2	4	no	—
86	#125	—	2	4	no	—
87	#125	—	2	8	no	—
88	#125	—	2	2	no	—
89	#125	—	2	4	no	—
90	#125	C₂³	1	2	yes	—
91	#125	C₂³	1	2	yes	—
92	#125	C₂³	1	2	yes	—
93	#124	—	2	2	no	—
94	#124	C₂³	1	2	yes	—
95	#123	—	2	4	no	—
96	#123	—	2	4	no	—
97	#123	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
103	#121	—	2	2	no	—
104	#121	—	2	4	no	—
105	#121	—	2	2	no	—
106	#121	—	2	4	no	—
107	#121	C₂³	1	4	yes	—
108	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
112	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
113	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₄×D₄	—	2	4	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	2	no	—
117	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
118	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
119	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
120	#117	—	2	4	no	—
121	#117	—	2	2	no	—
122	#117	—	2	4	no	—
123	#117	—	2	4	no	—
124	#117	C₂³	1	2	yes	—
125	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	#117	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
133	#107	C₂³	1	8	yes	—
134	#106	C₂³	1	8	yes	—
135	#103	C₂³	1	8	yes	—
136	#103	C₂³	1	8	yes	—
137	#103	C₂³	1	4	yes	—
138	#103	C₂³	1	4	yes	—
139	#102	C₂³	1	4	yes	—
140	#102	C₂³	1	4	yes	—
141	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	#97	C₂³	1	2	yes	—
144	#97	C₂³	1	4	yes	—
145	#97	C₂³	1	2	yes	—
146	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
147	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
148	#41	—	2	4	no	—
149	#41	—	2	8	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	Q₁₆	—	2	16	no	—
171	SD₁₆	—	2	16	no	—
172	M₁₆	—	2	8	no	—
173	M₁₆	#41	1	8	yes	—
174	C₂×C₈	—	2	4	no	—
175	C₂×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
179	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	—	2	8	no	—
206	C₄²	—	2	2	no	—
207	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	Q₈	—	2	2	no	—
216	Q₈	—	2	8	no	—
217	Q₈	—	2	4	no	—
218	Q₈	—	4	4	no	—
219	Q₈	—	4	4	no	—
220	D₄	—	2	4	no	—
221	D₄	—	2	2	no	—
222	D₄	—	2	4	no	—
223	D₄	—	4	4	no	—
224	D₄	—	8	2	no	—
225	D₄	—	8	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂×C₄	—	8	4	no	—
236	C₂×C₄	—	8	2	no	—
237	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
244	C₈	—	2	2	no	—
245	C₈	—	2	2	no	—
246	C₈	C₂×#41	1	8	yes	—
247	C₂²	—	2	2	no	—
248	C₂²	—	2	4	no	—
249	C₂²	—	2	2	no	—
250	C₂²	—	4	2	no	—
251	C₂²	—	4	2	no	—
252	C₂²	—	4	2	no	—
253	C₂²	#532	1	2	yes	—
254	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₄	—	2	2	no	—
256	C₄	—	2	4	no	—
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	2	2	no	—
259	C₄	—	4	4	no	—
260	C₄	—	4	4	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	4	4	no	—
263	C₄	#532	1	2	yes	—
264	C₄	C₂²×#41	1	2	yes	—
265	C₂	—	2	2	no	—
266	C₂	—	4	2	no	—
267	C₂	—	8	2	no	—
268	C₂	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#3586	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3512	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3509	C₂	semidirect
3. #3181	C₂	semidirect
4. #3177	C₂	semidirect
5. #3174	C₂	semidirect
6. #3172	C₂	semidirect
7. #3166	C₂	semidirect
8. #3152	C₂	semidirect
9. #3135	C₂	semidirect
10. C₂×#491	C₂	semidirect
11. #3063	C₂	semidirect
12. #2947	C₂	semidirect
13. #2875	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3512	2
#3509	2
#3181	2
#3177	2
#3174	2
#3172	2
#3166	2
#3152	2
#3135	2
C₂×#491	2
#3063	2
#2947	2
#2875	2