Subgroups — #60741

Order 256.

1181 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3197	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#3196	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3194	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3193	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3192	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3091	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3054	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3002	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	C₂×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
13	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#525	—	2	2	no	—
17	#525	—	2	2	no	—
18	#525	—	2	2	no	—
19	#525	—	2	2	no	—
20	#525	C₂²	1	4	yes	—
21	#525	C₂²	1	4	yes	—
22	#525	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#525	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#123	—	2	2	no	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#120	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#485	C₂²	1	8	yes	complemented
34	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#470	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#470	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#427	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#407	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#407	C₂²	1	2	yes	complemented
57	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
58	C₂⁵	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#41	—	2	2	no	—
60	C₂×#41	—	2	2	no	—
61	C₂×#41	—	4	8	no	—
62	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
70	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
71	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#135	—	4	8	no	—
82	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
83	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
84	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	complemented
85	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
86	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
90	#123	—	2	4	no	—
91	#123	—	2	4	no	—
92	#123	—	2	4	no	—
93	#123	—	2	4	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
102	#121	—	2	2	no	—
103	#121	—	2	2	no	—
104	#121	—	2	2	no	—
105	#121	—	2	2	no	—
106	#121	C₂³	1	4	yes	—
107	#121	C₂³	1	4	yes	—
108	#121	C₂³	1	4	yes	—
109	#121	C₂³	1	4	yes	—
110	#120	—	2	4	no	—
111	#120	—	2	4	no	—
112	#120	—	2	4	no	—
113	#120	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	4	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	2	4	no	—
118	C₄×D₄	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	2	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	4	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	#117	—	2	2	no	—
123	#117	—	2	2	no	—
124	#117	C₂³	1	4	yes	—
125	#117	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	#107	C₂³	1	8	yes	complemented
137	#106	C₂³	1	4	yes	complemented
138	#106	C₂³	1	4	yes	complemented
139	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
140	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
141	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
142	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
143	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
146	C₂⁴	—	2	2	no	—
147	C₂⁴	—	4	2	no	—
148	C₂⁴	—	4	4	no	—
149	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	#41	—	2	16	no	—
155	#41	—	4	8	no	—
156	#41	—	4	8	no	—
157	#41	—	4	8	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×D₄	—	4	8	no	—
172	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	Q₁₆	—	4	4	no	—
208	SD₁₆	—	4	8	no	—
209	D₈	—	4	4	no	—
210	M₁₆	—	4	2	no	—
211	M₁₆	—	4	4	no	—
212	M₁₆	—	4	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	8	no	—
214	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
223	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	2	4	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	4	1	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	1	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	2	no	—
249	C₂³	—	4	4	no	—
250	C₂³	—	4	4	no	—
251	C₂³	—	4	16	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	Q₈	—	2	8	no	—
259	Q₈	—	4	4	no	—
260	D₄	—	2	8	no	—
261	D₄	—	4	4	no	—
262	D₄	—	4	8	no	—
263	D₄	—	4	8	no	—
264	D₄	—	4	8	no	—
265	D₄	—	4	8	no	—
266	D₄	—	4	8	no	—
267	D₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	1	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
300	C₈	—	2	4	no	—
301	C₈	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	8	no	—
314	C₂²	—	4	8	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	8	8	no	—
321	C₂²	#534	1	2	yes	—
322	C₂²	#575	1	4	yes	—
323	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	1	no	—
326	C₄	—	2	1	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	#534	1	2	yes	—
332	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	—	2	2	no	—
335	C₂	—	4	2	no	—
336	C₂	—	4	1	no	—
337	C₂	—	4	1	no	—
338	C₂	—	8	4	no	—
339	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#575	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#525	C₂	semidirect
2. #3197	C₂	semidirect
3. #3196	C₂	semidirect
4. #3195	C₂	semidirect
5. #3194	C₂	semidirect
6. #3193	C₂	semidirect
7. #3192	C₂	semidirect
8. #3091	C₂	semidirect
9. #3054	C₂	semidirect
10. #3002	C₂	semidirect
11. C₂×#407	C₂	semidirect
12. C₂²×#41	C₂²	semidirect
14. C₂×#135	C₂²	semidirect
15. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
22. #525	C₂²	semidirect
23. #525	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×#121	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. #485	C₂²	semidirect
34. #484	C₂²	semidirect
35. #483	C₂²	semidirect
36. #482	C₂²	semidirect
37. #481	C₂²	semidirect
38. #480	C₂²	semidirect
39. #470	C₂²	semidirect
40. #470	C₂²	semidirect
41. #469	C₂²	semidirect
42. #469	C₂²	semidirect
43. #468	C₂²	semidirect
44. #468	C₂²	semidirect
45. #452	C₂²	semidirect
46. #451	C₂²	semidirect
47. #450	C₂²	semidirect
48. #449	C₂²	semidirect
49. #448	C₂²	semidirect
50. #447	C₂²	semidirect
51. #427	C₂²	semidirect
52. #416	C₂²	semidirect
55. #407	C₂²	semidirect
56. #407	C₂²	semidirect
57. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
82. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
83. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
84. C₂×D₈	C₂³	semidirect
136. #107	C₂³	semidirect
137. #106	C₂³	semidirect
138. #106	C₂³	semidirect
139. #103	C₂³	semidirect
140. #103	C₂³	semidirect
141. #102	C₂³	semidirect
142. #102	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
#3197	2
#3196	2
#3195	2
#3194	2
#3193	2
#3192	2
#3091	2
#3054	2
#3002	2
C₂×#407	2