Subgroups — #60749

Order 256.

1083 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3449	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3201	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3199	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3198	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3091	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3002	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#537	C₂²	1	4	yes	—
21	#537	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#536	—	2	2	no	—
23	#536	C₂²	1	2	yes	—
24	#536	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#535	—	2	2	no	—
26	#535	C₂²	1	2	yes	—
27	#535	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#534	—	2	2	no	—
29	#534	—	2	2	no	—
30	#532	—	2	2	no	—
31	#532	—	2	2	no	—
32	#525	—	2	2	no	—
33	#525	—	2	2	no	—
34	#525	C₂²	1	4	yes	—
35	#525	C₂²	1	4	yes	complemented
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#470	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#470	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#469	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#469	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#408	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	4	2	no	—
78	C₂×#41	—	4	2	no	—
79	C₂×#41	—	4	4	no	—
80	C₂×#41	—	4	4	no	—
81	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#135	—	4	4	no	—
99	#135	—	4	4	no	—
100	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
107	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
111	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	#127	—	2	2	no	—
119	#127	—	2	2	no	—
120	#124	—	2	2	no	—
121	#124	—	2	2	no	—
122	#124	—	2	2	no	—
123	#124	—	2	2	no	—
124	#123	—	2	2	no	—
125	#123	—	2	2	no	—
126	#123	—	2	2	no	—
127	#123	—	2	2	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#121	—	2	4	no	—
138	#121	—	2	4	no	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	#121	—	2	4	no	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	C₂³	1	4	yes	—
143	#121	C₂³	1	4	yes	—
144	#121	C₂³	1	4	yes	—
145	#121	C₂³	1	4	yes	—
146	#120	—	2	4	no	—
147	#120	—	2	4	no	—
148	#120	—	2	2	no	—
149	#120	—	2	2	no	—
150	#120	—	2	2	no	—
151	#120	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	C₂³	1	4	yes	—
159	#117	C₂³	1	2	yes	—
160	#117	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	#107	C₂³	1	2	yes	—
165	#107	C₂³	1	2	yes	—
166	#107	C₂³	1	4	yes	—
167	#106	C₂³	1	4	yes	—
168	#106	C₂³	1	2	yes	—
169	#106	C₂³	1	2	yes	—
170	#103	C₂³	1	4	yes	—
171	#103	C₂³	1	4	yes	—
172	#103	C₂³	1	4	yes	—
173	#103	C₂³	1	4	yes	—
174	#102	C₂³	1	4	yes	—
175	#102	C₂³	1	4	yes	—
176	#102	C₂³	1	4	yes	—
177	#102	C₂³	1	4	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
179	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
180	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
181	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	2	8	no	—
187	#41	—	4	2	no	—
188	#41	—	4	4	no	—
189	#41	—	4	2	no	—
190	#41	—	4	1	no	—
191	#41	—	4	2	no	—
192	#41	—	4	1	no	—
193	#41	—	4	1	no	—
194	#41	—	4	2	no	—
195	#41	—	4	1	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	#41	—	4	4	no	—
198	#41	—	4	8	no	—
199	#41	—	4	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	Q₁₆	—	4	2	no	—
249	Q₁₆	—	4	2	no	—
250	SD₁₆	—	4	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	D₈	—	4	2	no	—
253	D₈	—	4	2	no	—
254	M₁₆	—	4	1	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	8	4	no	—
294	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	2	4	no	—
300	Q₈	—	2	4	no	—
301	Q₈	—	4	1	no	—
302	Q₈	—	4	2	no	—
303	Q₈	—	4	1	no	—
304	Q₈	—	4	4	no	—
305	D₄	—	2	4	no	—
306	D₄	—	2	4	no	—
307	D₄	—	4	2	no	—
308	D₄	—	4	2	no	—
309	D₄	—	4	2	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	1	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	1	no	—
314	D₄	—	4	4	no	—
315	D₄	—	4	8	no	—
316	D₄	—	4	8	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	2	2	no	—
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	8	8	no	—
369	C₂²	#534	1	2	yes	—
370	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	2	no	—
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	#534	1	2	yes	—
379	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
380	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
381	C₂	—	2	2	no	—
382	C₂	—	4	1	no	—
383	C₂	—	4	1	no	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	4	2	no	—
386	C₂	—	8	4	no	—
387	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#3584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3449	C₂	semidirect
2. #3204	C₂	semidirect
3. #3203	C₂	semidirect
4. #3202	C₂	semidirect
5. #3201	C₂	semidirect
6. #3200	C₂	semidirect
7. #3199	C₂	semidirect
8. #3198	C₂	semidirect
9. #3091	C₂	semidirect
10. #3054	C₂	semidirect
11. #3050	C₂	semidirect
12. #3002	C₂	semidirect
13. C₂×#408	C₂	semidirect
15. C₂²×#41	C₂²	semidirect
18. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
19. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
21. #537	C₂²	semidirect
24. #536	C₂²	semidirect
27. #535	C₂²	semidirect
35. #525	C₂²	semidirect
36. C₂×#117	C₂²	semidirect
37. #485	C₂²	semidirect
38. #485	C₂²	semidirect
39. #484	C₂²	semidirect
40. #483	C₂²	semidirect
41. #482	C₂²	semidirect
42. #482	C₂²	semidirect
43. #481	C₂²	semidirect
44. #480	C₂²	semidirect
45. #470	C₂²	semidirect
46. #470	C₂²	semidirect
47. #469	C₂²	semidirect
48. #469	C₂²	semidirect
49. #468	C₂²	semidirect
50. #468	C₂²	semidirect
51. #467	C₂²	semidirect
52. #467	C₂²	semidirect
53. #466	C₂²	semidirect
54. #466	C₂²	semidirect
55. #465	C₂²	semidirect
56. #465	C₂²	semidirect
57. #452	C₂²	semidirect
58. #452	C₂²	semidirect
59. #451	C₂²	semidirect
60. #450	C₂²	semidirect
61. #449	C₂²	semidirect
62. #449	C₂²	semidirect
63. #448	C₂²	semidirect
64. #447	C₂²	semidirect
65. #427	C₂²	semidirect
66. #427	C₂²	semidirect
67. #416	C₂²	semidirect
68. #416	C₂²	semidirect
71. #408	C₂²	semidirect
72. #408	C₂²	semidirect
73. #408	C₂²	semidirect
74. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3449	2
#3204	2
#3203	2
#3202	2
#3201	2
#3200	2
#3199	2
#3198	2
#3091	2
#3054	2
#3050	2
#3002	2
C₂×#408	2