Subgroups — #60770

Order 256.

1066 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3489	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3201	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3191	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3190	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3098	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3097	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3056	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3050	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3011	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	C₂×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
24	#548	—	2	2	no	—
25	#547	—	2	4	no	—
26	#547	—	2	2	no	—
27	#546	—	2	4	no	—
28	#546	—	2	2	no	—
29	#537	C₂²	1	2	yes	—
30	#537	C₂²	1	4	yes	—
31	#536	C₂²	1	2	yes	—
32	#536	C₂²	1	4	yes	—
33	#525	C₂²	1	4	yes	—
34	#525	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	#520	C₂²	1	2	yes	—
38	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#470	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#467	C₂²	1	4	yes	—
50	#467	C₂²	1	2	yes	—
51	#467	C₂²	1	2	yes	—
52	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#465	C₂²	1	2	yes	—
58	#465	C₂²	1	4	yes	—
59	#465	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#428	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
70	C₂×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
71	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#417	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#416	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#408	C₂²	1	2	yes	—
76	#408	C₂²	1	2	yes	—
77	#408	C₂²	1	2	yes	—
78	#408	C₂²	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
81	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
82	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
83	C₂×#41	—	2	4	no	—
84	C₂×#41	—	2	2	no	—
85	C₂×#41	—	4	2	no	—
86	C₂×#41	—	4	2	no	—
87	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
88	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	#137	—	4	4	no	—
102	#135	—	4	2	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
104	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
115	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
124	#124	—	2	2	no	—
125	#124	—	2	4	no	—
126	#123	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	2	no	—
130	#123	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
144	#121	—	2	4	no	—
145	#121	—	2	4	no	—
146	#121	—	2	4	no	—
147	#121	—	2	2	no	—
148	#121	—	2	4	no	—
149	#121	C₂³	1	2	yes	—
150	#121	C₂³	1	4	yes	—
151	#121	C₂³	1	2	yes	—
152	#120	—	2	2	no	—
153	#120	—	2	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	4	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	4	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	#117	C₂³	1	2	yes	—
162	#117	C₂³	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	#107	C₂³	1	2	yes	—
170	#107	C₂³	1	2	yes	—
171	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
173	#107	C₂³	1	4	yes	—
174	#106	C₂³	1	2	yes	—
175	#106	C₂³	1	4	yes	—
176	#103	C₂³	1	4	yes	—
177	#103	C₂³	1	4	yes	—
178	#103	C₂³	1	2	yes	—
179	#103	C₂³	1	2	yes	—
180	#103	C₂³	1	4	yes	—
181	#103	C₂³	1	4	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#102	C₂³	1	2	yes	—
184	#102	C₂³	1	2	yes	—
185	#102	C₂³	1	4	yes	—
186	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
187	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
188	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
189	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	4	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	4	2	no	—
197	#41	—	4	2	no	—
198	#41	—	4	4	no	—
199	#41	—	4	4	no	—
200	#41	—	4	4	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	16	no	—
203	#41	—	4	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
227	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	Q₁₆	—	4	2	no	—
248	Q₁₆	—	4	2	no	—
249	Q₁₆	—	4	1	no	—
250	Q₁₆	—	4	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	2	no	—
252	SD₁₆	—	4	4	no	—
253	D₈	—	4	1	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	2	no	—
301	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	2	4	no	—
306	Q₈	—	2	4	no	—
307	Q₈	—	2	2	no	—
308	Q₈	—	2	4	no	—
309	Q₈	—	2	2	no	—
310	Q₈	—	4	2	no	—
311	Q₈	—	4	8	no	—
312	Q₈	—	4	4	no	—
313	D₄	—	2	8	no	—
314	D₄	—	2	4	no	—
315	D₄	—	2	2	no	—
316	D₄	—	2	2	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	4	4	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	8	4	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	1	no	—
354	C₈	—	2	1	no	—
355	C₈	—	2	1	no	—
356	C₈	—	2	1	no	—
357	C₈	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	4	2	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	#534	1	2	yes	—
374	C₂²	#578	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	#534	1	2	yes	—
385	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
386	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	4	1	no	—
390	C₂	—	4	4	no	—
391	C₂	—	8	2	no	—
392	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3489	C₂	semidirect
2. #3203	C₂	semidirect
3. #3202	C₂	semidirect
4. #3201	C₂	semidirect
5. #3191	C₂	semidirect
6. #3190	C₂	semidirect
7. #3189	C₂	semidirect
8. #3098	C₂	semidirect
9. #3097	C₂	semidirect
10. #3056	C₂	semidirect
11. #3050	C₂	semidirect
12. C₂×#467	C₂	semidirect
13. #3013	C₂	semidirect
14. #3011	C₂	semidirect
15. C₂×#408	C₂	semidirect
18. C₂×#137	C₂²	semidirect
19. C₂×#135	C₂²	semidirect
20. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
38. #485	C₂²	semidirect
39. #485	C₂²	semidirect
40. #485	C₂²	semidirect
41. #484	C₂²	semidirect
42. #484	C₂²	semidirect
43. #483	C₂²	semidirect
44. #482	C₂²	semidirect
45. #480	C₂²	semidirect
46. #470	C₂²	semidirect
47. #468	C₂²	semidirect
52. #467	C₂²	semidirect
53. #467	C₂²	semidirect
54. #467	C₂²	semidirect
56. #466	C₂²	semidirect
59. #465	C₂²	semidirect
60. #452	C₂²	semidirect
61. #452	C₂²	semidirect
62. #452	C₂²	semidirect
63. #451	C₂²	semidirect
64. #451	C₂²	semidirect
65. #451	C₂²	semidirect
66. #449	C₂²	semidirect
67. #448	C₂²	semidirect
68. #428	C₂²	semidirect
69. #427	C₂²	semidirect
70. C₂×#107	C₂²	semidirect
71. #419	C₂²	semidirect
72. #417	C₂²	semidirect
73. #416	C₂²	semidirect
74. C₂×#103	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3489	2
#3203	2
#3202	2
#3201	2
#3191	2
#3190	2
#3189	2
#3098	2
#3097	2
#3056	2
#3050	2
C₂×#467	2
#3013	2
#3011	2
C₂×#408	2