Subgroups — #60797

Order 256.

1031 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3455	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3225	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3224	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3223	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3222	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3221	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3035	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#3002	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	C₂×#433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
20	#541	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#540	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#539	—	2	2	no	—
23	#538	—	2	2	no	—
24	#537	—	2	2	no	—
25	#536	C₂²	1	2	yes	—
26	#536	C₂²	1	2	yes	—
27	#535	C₂²	1	2	yes	—
28	#535	C₂²	1	2	yes	—
29	#534	—	2	2	no	—
30	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#532	C₂²	1	2	yes	—
34	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#529	—	2	4	no	—
36	#525	—	2	4	no	—
37	#525	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#495	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#459	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#452	C₂²	1	4	yes	—
65	#452	C₂²	1	4	yes	—
66	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#449	C₂²	1	4	yes	—
69	#449	C₂²	1	4	yes	—
70	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#433	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#433	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#433	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
77	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
79	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
80	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	C₂×#41	—	2	2	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	—	4	8	no	—
84	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#135	—	4	8	no	—
95	#135	—	4	8	no	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
111	#127	C₂³	1	2	yes	—
112	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#126	—	2	4	no	—
116	#126	—	2	4	no	—
117	#125	—	2	4	no	—
118	#125	C₂³	1	2	yes	—
119	#124	—	2	4	no	—
120	#124	C₂³	1	2	yes	—
121	#124	C₂³	1	2	yes	—
122	#124	C₂³	1	2	yes	—
123	#124	C₂³	1	2	yes	—
124	#124	C₂³	1	2	yes	—
125	#123	—	2	2	no	—
126	#123	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
135	#121	—	2	4	no	—
136	#121	—	2	2	no	—
137	#121	—	2	2	no	—
138	#121	—	2	2	no	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	#121	—	2	4	no	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	C₂³	1	4	yes	—
143	#120	—	2	2	no	—
144	#120	—	2	4	no	—
145	#120	—	2	4	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
148	C₄×D₄	—	2	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	2	no	—
153	C₄×D₄	—	2	2	no	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	D₄	1	4	yes	—
157	#117	C₂³	1	2	yes	—
158	#117	C₂³	1	2	yes	—
159	#117	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
166	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
167	#103	C₂³	1	4	yes	—
168	#103	C₂³	1	4	yes	—
169	#103	C₂³	1	4	yes	—
170	#103	C₂³	1	4	yes	—
171	#102	C₂³	1	4	yes	—
172	#102	C₂³	1	4	yes	—
173	#102	C₂³	1	4	yes	—
174	#102	C₂³	1	4	yes	—
175	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
176	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
177	#97	C₂³	1	2	yes	—
178	#97	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	#41	—	2	8	no	—
187	#41	—	4	4	no	—
188	#41	—	4	4	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	Q₁₆	—	4	4	no	—
229	Q₁₆	—	4	4	no	—
230	SD₁₆	—	4	4	no	—
231	SD₁₆	—	4	4	no	—
232	SD₁₆	—	4	4	no	—
233	SD₁₆	—	4	4	no	—
234	D₈	—	4	4	no	—
235	D₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	4	no	—
280	Q₈	—	2	4	no	—
281	Q₈	—	2	4	no	—
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	Q₈	—	8	2	no	—
284	D₄	—	2	4	no	—
285	D₄	—	2	4	no	—
286	D₄	—	2	4	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	2	no	—
295	D₄	—	8	2	no	—
296	D₄	—	8	2	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	4	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	8	no	—
335	C₂²	#535	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	#535	1	2	yes	—
346	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
347	C₂	—	2	2	no	—
348	C₂	—	4	2	no	—
349	C₂	—	8	2	no	—
350	C₂	—	8	2	no	—
351	C₂	—	8	2	no	—
352	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#3584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3455	C₂	semidirect
2. #3449	C₂	semidirect
3. #3225	C₂	semidirect
4. #3224	C₂	semidirect
5. #3223	C₂	semidirect
6. #3222	C₂	semidirect
7. #3221	C₂	semidirect
8. #3220	C₂	semidirect
9. #3150	C₂	semidirect
10. #3147	C₂	semidirect
11. #3135	C₂	semidirect
12. #3131	C₂	semidirect
13. #3035	C₂	semidirect
14. #3002	C₂	semidirect
15. C₂×#433	C₂	semidirect
17. C₂×#135	C₂²	semidirect
18. C₂×#135	C₂²	semidirect
19. #542	C₂²	semidirect
20. #541	C₂²	semidirect
21. #540	C₂²	semidirect
30. #533	C₂²	semidirect
34. #532	C₂²	semidirect
38. C₄×#41	C₂²	semidirect
40. #497	C₂²	semidirect
41. #497	C₂²	semidirect
42. #496	C₂²	semidirect
43. #496	C₂²	semidirect
44. #495	C₂²	semidirect
45. #494	C₂²	semidirect
46. #493	C₂²	semidirect
47. #492	C₂²	semidirect
48. #492	C₂²	semidirect
49. #491	C₂²	semidirect
50. #490	C₂²	semidirect
51. #489	C₂²	semidirect
52. #488	C₂²	semidirect
53. #488	C₂²	semidirect
54. #487	C₂²	semidirect
55. #486	C₂²	semidirect
56. #464	C₂²	semidirect
57. #464	C₂²	semidirect
58. #463	C₂²	semidirect
59. #463	C₂²	semidirect
60. #462	C₂²	semidirect
61. #461	C₂²	semidirect
62. #460	C₂²	semidirect
63. #459	C₂²	semidirect
66. #451	C₂²	semidirect
67. #450	C₂²	semidirect
70. #448	C₂²	semidirect
71. #447	C₂²	semidirect
72. #433	C₂²	semidirect
73. #433	C₂²	semidirect
74. #433	C₂²	semidirect
75. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
76. #416	C₂²	semidirect
77. #416	C₂²	semidirect
79. C₂×#97	C₂²	semidirect
80. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3455	2
#3449	2
#3225	2
#3224	2
#3223	2
#3222	2
#3221	2
#3220	2
#3150	2
#3147	2
#3135	2
#3131	2
#3035	2
#3002	2
C₂×#433	2