Subgroups — #60799

Order 256.

1131 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 293 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3215	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3213	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3211	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3153	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3140	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3040	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3004	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3003	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
16	#533	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#529	—	2	2	no	—
21	#529	—	2	2	no	—
22	#529	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#124	—	2	2	no	—
24	C₂×#124	—	2	2	no	—
25	C₂×#124	—	2	2	no	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
30	#525	—	2	2	no	—
31	#525	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#41	—	2	2	no	—
33	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#495	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#489	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#488	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#464	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#463	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#451	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#450	C₂²	1	8	yes	—
45	#448	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#447	C₂²	1	8	yes	—
47	#432	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#431	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#423	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#418	C₂²	1	4	yes	—
52	#407	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
54	C₂⁵	—	2	1	no	—
55	C₂×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
58	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
59	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
68	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#137	—	4	8	no	—
71	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
72	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
73	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	complemented
75	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
77	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
78	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	complemented
79	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
80	#126	—	2	4	no	—
81	#125	—	2	2	no	—
82	#125	C₂³	1	2	yes	complemented
83	#124	—	2	2	no	—
84	#124	—	2	4	no	—
85	#124	—	2	2	no	—
86	#124	—	2	4	no	—
87	#124	—	2	4	no	—
88	#124	—	2	4	no	—
89	#124	—	2	4	no	—
90	#124	—	2	2	no	—
91	#124	C₂³	1	8	yes	—
92	#124	C₂³	1	4	yes	—
93	#124	C₂³	1	4	yes	—
94	#124	C₂³	1	2	yes	complemented
95	#123	—	2	4	no	—
96	#123	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
100	#121	—	2	2	no	—
101	#121	—	2	2	no	—
102	#121	C₂³	1	4	yes	—
103	#120	—	2	2	no	—
104	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	2	no	—
111	C₄×D₄	—	2	2	no	—
112	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
113	#117	—	2	2	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	2	no	—
116	#117	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
131	C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
132	#103	C₂³	1	16	yes	complemented
133	#102	C₂³	1	16	yes	—
134	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
135	#97	C₂³	1	4	yes	complemented
136	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	complemented
137	C₂⁴	—	2	4	no	—
138	C₂⁴	—	2	2	no	—
139	C₂⁴	—	4	4	no	—
140	C₂⁴	—	4	8	no	—
141	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	#41	—	2	8	no	—
143	#41	—	4	8	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
149	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
150	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
151	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	4	8	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	8	no	—
162	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	Q₁₆	—	4	8	no	—
182	SD₁₆	—	4	8	no	—
183	SD₁₆	—	4	8	no	—
184	D₈	—	4	8	no	—
185	M₁₆	—	2	8	no	—
186	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	4	8	no	—
219	C₂³	—	4	8	no	—
220	C₂³	—	4	8	no	—
221	C₂³	—	4	4	no	—
222	C₂³	—	4	8	no	—
223	C₂³	—	8	16	no	—
224	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	Q₈	—	2	4	no	—
227	Q₈	—	2	8	no	—
228	Q₈	—	4	8	no	—
229	Q₈	—	4	4	no	—
230	Q₈	—	4	4	no	—
231	D₄	—	2	4	no	—
232	D₄	—	2	8	no	—
233	D₄	—	4	8	no	—
234	D₄	—	4	4	no	—
235	D₄	—	4	4	no	—
236	D₄	—	4	8	no	—
237	D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
262	C₈	—	2	8	no	—
263	C₂²	—	2	8	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	4	2	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	8	no	—
271	C₂²	—	8	8	no	—
272	C₂²	—	8	16	no	—
273	C₂²	#535	1	2	yes	—
274	C₂²	#575	1	4	yes	—
275	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄	—	2	2	no	—
277	C₄	—	2	2	no	—
278	C₄	—	2	2	no	—
279	C₄	—	2	2	no	—
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	4	4	no	—
282	C₄	—	4	2	no	—
283	C₄	—	4	4	no	—
284	C₄	#535	1	2	yes	—
285	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
286	C₂	—	2	2	no	—
287	C₂	—	2	4	no	—
288	C₂	—	8	2	no	—
289	C₂	—	8	4	no	—
290	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
291	C₂	C₂×#575	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3444	C₂	semidirect
2. C₂²×#124	C₂	semidirect
3. #3215	C₂	semidirect
4. #3213	C₂	semidirect
5. #3211	C₂	semidirect
6. #3153	C₂	semidirect
7. #3140	C₂	semidirect
8. #3040	C₂	semidirect
9. #3004	C₂	semidirect
10. #3003	C₂	semidirect
11. #2920	C₂	semidirect
14. C₂×#137	C₂²	semidirect
16. #533	C₂²	semidirect
17. #533	C₂²	semidirect
18. #532	C₂²	semidirect
19. #532	C₂²	semidirect
22. #529	C₂²	semidirect
33. C₄×#41	C₂²	semidirect
36. #497	C₂²	semidirect
37. #496	C₂²	semidirect
38. #495	C₂²	semidirect
39. #489	C₂²	semidirect
40. #488	C₂²	semidirect
41. #464	C₂²	semidirect
42. #463	C₂²	semidirect
43. #451	C₂²	semidirect
45. #448	C₂²	semidirect
47. #432	C₂²	semidirect
48. #431	C₂²	semidirect
49. #423	C₂²	semidirect
50. #419	C₂²	semidirect
53. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
72. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
74. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
77. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
78. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
79. #127	C₂³	semidirect
82. #125	C₂³	semidirect
94. #124	C₂³	semidirect
106. C₄×Q₈	C₂³	semidirect
112. C₄×D₄	C₂³	semidirect
131. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
132. #103	C₂³	semidirect
135. #97	C₂³	semidirect
136. C₄×C₈	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3444	2
C₂²×#124	2
#3215	2
#3213	2
#3211	2
#3153	2
#3140	2
#3040	2
#3004	2
#3003	2
#2920	2