Subgroups — #60803

Order 256.

1222 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 401 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3214	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3213	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3207	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3151	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3141	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3036	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#3006	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	—	2	1	no	—
14	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	8	yes	complemented
16	#532	—	2	1	no	—
17	#532	—	2	1	no	—
18	#532	—	2	1	no	—
19	#532	—	2	1	no	—
20	#532	—	2	1	no	—
21	#532	—	2	1	no	—
22	#532	—	2	1	no	—
23	#532	—	2	1	no	—
24	#532	C₂²	1	2	yes	—
25	#532	C₂²	1	2	yes	—
26	#532	C₂²	1	2	yes	—
27	#532	C₂²	1	2	yes	—
28	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×#124	—	2	1	no	—
37	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂×#121	—	2	1	no	—
39	C₂×#121	—	2	1	no	—
40	C₂×#121	—	2	1	no	—
41	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#496	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#493	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#492	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#489	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#487	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#486	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#463	C₂²	1	16	yes	complemented
54	#461	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#459	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#449	C₂²	1	16	yes	complemented
57	#448	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#432	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#423	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#417	C₂²	1	8	yes	complemented
65	#407	C₂²	1	2	yes	—
66	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
67	C₂×#41	—	2	2	no	—
68	C₂×#41	—	2	2	no	—
69	C₂×#41	—	2	2	no	—
70	C₂×#41	—	2	2	no	—
71	C₂×#41	—	2	2	no	—
72	C₂×#41	—	2	2	no	—
73	C₂×#41	—	4	8	no	—
74	C₂×#41	—	4	8	no	—
75	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
93	C₂×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×D₈	C₂³	1	16	yes	—
95	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
96	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
100	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
104	#127	—	2	1	no	—
105	#127	—	2	1	no	—
106	#127	—	2	1	no	—
107	#127	—	2	1	no	—
108	#127	C₂³	1	2	yes	—
109	#127	C₂³	1	2	yes	—
110	#127	C₂³	1	2	yes	—
111	#127	C₂³	1	2	yes	—
112	#124	—	2	2	no	—
113	#124	—	2	2	no	—
114	#124	—	2	2	no	—
115	#124	—	2	2	no	—
116	#124	—	2	2	no	—
117	#124	—	2	2	no	—
118	#124	C₂³	1	4	yes	—
119	#124	C₂³	1	4	yes	—
120	#121	—	2	2	no	—
121	#121	—	2	2	no	—
122	#121	—	2	2	no	—
123	#121	—	2	2	no	—
124	#121	—	2	2	no	—
125	#121	—	2	2	no	—
126	#121	—	2	2	no	—
127	#121	—	2	2	no	—
128	#121	—	2	2	no	—
129	#121	—	2	2	no	—
130	#121	—	2	2	no	—
131	#121	—	2	2	no	—
132	#121	—	2	2	no	—
133	#121	—	2	2	no	—
134	#121	C₂³	1	4	yes	—
135	#121	C₂³	1	4	yes	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
173	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
174	#103	C₂³	1	16	yes	—
175	#102	C₂³	1	16	yes	—
176	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
178	#97	C₂³	1	4	yes	—
179	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	#41	—	2	16	no	—
184	#41	—	4	8	no	—
185	#41	—	4	8	no	—
186	#41	—	4	8	no	—
187	#41	—	4	8	no	—
188	#41	—	4	8	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
250	SD₁₆	—	4	16	no	—
251	D₈	—	4	16	no	—
252	M₁₆	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	4	1	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	2	8	no	—
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	Q₈	—	4	4	no	—
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	D₄	—	2	8	no	—
305	D₄	—	2	8	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	8	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	D₄	—	4	8	no	—
313	D₄	—	4	8	no	—
314	D₄	—	4	4	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	4	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	1	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
345	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
358	C₈	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	4	4	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	4	4	no	—
370	C₂²	—	4	4	no	—
371	C₂²	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	—	8	8	no	—
375	C₂²	#535	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
377	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	1	no	—
380	C₄	—	2	1	no	—
381	C₄	—	2	1	no	—
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	4	4	no	—
387	C₄	#535	1	2	yes	—
388	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
389	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
390	C₄	#575	1	2	yes	—
391	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
392	C₂	—	2	2	no	—
393	C₂	—	2	2	no	—
394	C₂	—	4	1	no	—
395	C₂	—	8	4	no	—
396	C₂	—	8	4	no	—
397	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
399	C₂	C₂×#575	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#532	C₂	semidirect
2. C₂×#532	C₂	semidirect
3. #3214	C₂	semidirect
4. #3213	C₂	semidirect
5. #3207	C₂	semidirect
6. #3206	C₂	semidirect
7. #3205	C₂	semidirect
8. #3151	C₂	semidirect
9. #3141	C₂	semidirect
10. #3036	C₂	semidirect
11. #3006	C₂	semidirect
12. #2920	C₂	semidirect
15. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
28. #532	C₂²	semidirect
29. #532	C₂²	semidirect
30. #532	C₂²	semidirect
31. #532	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
34. C₂×#127	C₂²	semidirect
35. C₂×#127	C₂²	semidirect
37. C₂×#124	C₂²	semidirect
45. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
47. #496	C₂²	semidirect
48. #493	C₂²	semidirect
49. #492	C₂²	semidirect
50. #489	C₂²	semidirect
51. #487	C₂²	semidirect
52. #486	C₂²	semidirect
53. #463	C₂²	semidirect
54. #461	C₂²	semidirect
55. #459	C₂²	semidirect
56. #449	C₂²	semidirect
57. #448	C₂²	semidirect
58. #447	C₂²	semidirect
59. #432	C₂²	semidirect
60. #432	C₂²	semidirect
61. #431	C₂²	semidirect
62. #431	C₂²	semidirect
63. #423	C₂²	semidirect
64. #417	C₂²	semidirect
66. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
344. C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
#3214	2
#3213	2
#3207	2
#3206	2
#3205	2
#3151	2
#3141	2
#3036	2
#3006	2
#2920	2