Subgroups — #60806

Order 256.

1111 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3455	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3224	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#3222	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3220	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3040	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3038	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3005	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3003	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#541	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#540	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#539	—	2	2	no	—
25	#538	—	2	2	no	—
26	#535	—	2	4	no	—
27	#535	C₂²	1	4	yes	—
28	#535	C₂²	1	4	yes	—
29	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#529	—	2	4	no	—
34	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#525	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#121	—	2	2	no	—
38	C₂×#120	—	2	2	no	—
39	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#496	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#496	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#495	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#493	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#490	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#486	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#460	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#459	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#450	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#447	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#433	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#433	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#423	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#418	C₂²	1	2	yes	—
64	#418	C₂²	1	2	yes	—
65	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#407	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
69	C₂⁵	—	2	1	no	—
70	C₂×#41	—	2	2	no	—
71	C₂×#41	—	4	4	no	—
72	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#137	—	4	4	no	—
88	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
89	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
90	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
91	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
92	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
95	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	complemented
96	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	complemented
99	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
102	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	complemented
103	#127	—	2	2	no	—
104	#127	—	2	2	no	—
105	#127	C₂³	1	4	yes	—
106	#127	C₂³	1	2	yes	—
107	#127	C₂³	1	2	yes	—
108	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic, complemented
109	#126	—	2	4	no	—
110	#126	—	2	4	no	—
111	#125	—	2	4	no	—
112	#125	C₂³	1	2	yes	complemented
113	#124	—	2	4	no	—
114	#124	—	2	2	no	—
115	#124	—	2	2	no	—
116	#124	C₂³	1	4	yes	—
117	#124	C₂³	1	2	yes	—
118	#124	C₂³	1	2	yes	—
119	#124	C₂³	1	2	yes	complemented
120	#123	—	2	2	no	—
121	#123	—	2	4	no	—
122	#123	—	2	4	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
126	#121	—	2	2	no	—
127	#121	—	2	8	no	—
128	#121	—	2	8	no	—
129	#121	—	2	4	no	—
130	#121	C₂³	1	4	yes	—
131	#120	—	2	2	no	—
132	#120	—	2	8	no	—
133	#120	—	2	8	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	complemented
136	C₄×D₄	—	2	4	no	—
137	C₄×D₄	—	2	4	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
140	#117	—	2	2	no	—
141	#117	D₄	1	4	yes	—
142	#117	C₂³	1	2	yes	—
143	#117	C₂³	1	2	yes	—
144	#117	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	complemented
153	#103	C₂³	1	8	yes	complemented
154	#102	C₂³	1	8	yes	—
155	#102	C₂³	1	8	yes	—
156	#102	C₂³	1	8	yes	complemented
157	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
158	#97	C₂³	1	2	yes	complemented
159	#97	C₂³	1	2	yes	complemented
160	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
161	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	complemented
162	C₂⁴	—	2	1	no	—
163	C₂⁴	—	2	1	no	—
164	C₂⁴	—	2	1	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	8	4	no	—
168	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	#41	—	2	4	no	—
170	#41	—	2	4	no	—
171	#41	—	4	8	no	—
172	#41	—	4	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
176	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂×D₄	—	2	2	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	1	no	—
183	C₂×D₄	—	2	1	no	—
184	C₂×D₄	—	2	1	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	8	4	no	—
197	C₂×D₄	—	8	4	no	—
198	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
199	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
214	Q₁₆	—	4	4	no	—
215	SD₁₆	—	4	4	no	—
216	SD₁₆	—	4	4	no	—
217	SD₁₆	—	4	4	no	—
218	SD₁₆	—	4	4	no	—
219	D₈	—	4	4	no	—
220	D₈	—	4	4	no	—
221	D₈	—	4	4	no	—
222	M₁₆	—	2	4	no	—
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
248	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	8	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	8	8	no	—
265	C₂³	—	8	16	no	—
266	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₈	—	2	2	no	—
269	Q₈	—	2	2	no	—
270	Q₈	—	2	4	no	—
271	Q₈	—	4	2	no	—
272	Q₈	—	8	2	no	—
273	D₄	—	2	2	no	—
274	D₄	—	2	2	no	—
275	D₄	—	2	4	no	—
276	D₄	—	2	4	no	—
277	D₄	—	2	4	no	—
278	D₄	—	4	8	no	—
279	D₄	—	4	8	no	—
280	D₄	—	4	4	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	8	2	no	—
285	D₄	—	8	8	no	—
286	D₄	—	8	4	no	—
287	D₄	—	8	4	no	—
288	D₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
308	C₈	—	2	4	no	—
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	16	no	—
326	C₂²	#535	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	4	4	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	#535	1	2	yes	—
336	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
337	C₂	—	2	2	no	—
338	C₂	—	4	2	no	—
339	C₂	—	8	2	no	—
340	C₂	—	8	2	no	—
341	C₂	—	8	2	no	—
342	C₂	—	8	2	no	—
343	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#3585	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3455	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. #3224	C₂	semidirect
4. #3222	C₂	semidirect
5. #3220	C₂	semidirect
6. #3153	C₂	semidirect
7. #3151	C₂	semidirect
8. #3140	C₂	semidirect
9. #3138	C₂	semidirect
10. #3040	C₂	semidirect
11. #3038	C₂	semidirect
12. #3005	C₂	semidirect
13. #3003	C₂	semidirect
14. #2921	C₂	semidirect
17. C₂×#137	C₂²	semidirect
20. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
21. #542	C₂²	semidirect
22. #541	C₂²	semidirect
23. #540	C₂²	semidirect
29. #533	C₂²	semidirect
30. #532	C₂²	semidirect
39. C₄×#41	C₂²	semidirect
41. #497	C₂²	semidirect
42. #496	C₂²	semidirect
43. #496	C₂²	semidirect
44. #495	C₂²	semidirect
45. #493	C₂²	semidirect
46. #492	C₂²	semidirect
47. #490	C₂²	semidirect
48. #489	C₂²	semidirect
49. #488	C₂²	semidirect
50. #486	C₂²	semidirect
51. #464	C₂²	semidirect
52. #463	C₂²	semidirect
53. #460	C₂²	semidirect
54. #459	C₂²	semidirect
55. #452	C₂²	semidirect
56. #450	C₂²	semidirect
57. #449	C₂²	semidirect
58. #447	C₂²	semidirect
59. #433	C₂²	semidirect
60. #433	C₂²	semidirect
61. #423	C₂²	semidirect
62. #419	C₂²	semidirect
65. #418	C₂²	semidirect
67. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
68. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
91. C₂×Q₁₆	C₂³	semidirect
94. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
95. C₂×SD₁₆	C₂³	semidirect
98. C₂×D₈	C₂³	semidirect
101. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
102. C₄⋊Q₈	C₂³	semidirect
108. #127	C₂³	semidirect
112. #125	C₂³	semidirect
119. #124	C₂³	semidirect
135. C₄×Q₈	C₂³	semidirect
139. C₄×D₄	C₂³	semidirect
152. C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
153. #103	C₂³	semidirect
156. #102	C₂³	semidirect
158. #97	C₂³	semidirect
159. #97	C₂³	semidirect
160. C₄×C₈	C₂³	semidirect
161. C₄×C₈	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3455	2
C₂×#535	2
#3224	2
#3222	2
#3220	2
#3153	2
#3151	2
#3140	2
#3138	2
#3040	2
#3038	2
#3005	2
#3003	2
#2921	2