Subgroups — #60821

Order 256.

1001 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 257 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#3223	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#3210	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3209	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3044	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#3011	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
16	#557	—	2	2	no	—
17	#556	—	2	2	no	—
18	#552	—	2	4	no	—
19	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
20	#547	—	2	4	no	—
21	#547	—	2	2	no	—
22	#541	C₂²	1	4	yes	—
23	#536	C₂²	1	4	yes	—
24	#536	C₂²	1	2	yes	—
25	#536	C₂²	1	2	yes	—
26	#533	C₂²	1	4	yes	—
27	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#532	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	#519	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#497	C₂²	1	4	yes	—
36	#494	C₂²	1	4	yes	—
37	#494	C₂²	1	4	yes	—
38	#494	C₂²	1	2	yes	—
39	#492	C₂²	1	2	yes	—
40	#491	C₂²	1	4	yes	—
41	#488	C₂²	1	4	yes	—
42	#487	C₂²	1	2	yes	—
43	#487	C₂²	1	4	yes	—
44	#486	C₂²	1	2	yes	—
45	#464	C₂²	1	16	yes	—
46	#462	C₂²	1	16	yes	—
47	#452	C₂²	1	16	yes	—
48	#451	C₂²	1	16	yes	—
49	#433	C₂²	1	4	yes	—
50	#431	C₂²	1	4	yes	—
51	#424	C₂²	1	2	yes	—
52	#419	C₂²	1	4	yes	—
53	#416	C₂²	1	4	yes	—
54	#408	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
58	C₂×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#41	—	2	2	no	—
60	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
67	#137	—	4	8	no	—
68	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
69	C₂×Q₁₆	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
75	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
76	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
77	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
78	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
85	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#126	—	2	8	no	—
87	#125	—	2	8	no	—
88	#125	—	2	4	no	—
89	#125	C₂³	1	2	yes	—
90	#124	—	2	2	no	—
91	#124	C₂³	1	4	yes	—
92	#124	C₂³	1	2	yes	—
93	#123	—	2	4	no	—
94	#123	—	2	4	no	—
95	#123	—	2	8	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
100	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
101	#121	—	2	2	no	—
102	#121	—	2	4	no	—
103	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
107	C₄×Q₈	C₂³	1	8	yes	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	2	2	no	—
110	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
111	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
112	#117	—	2	4	no	—
113	#117	—	2	4	no	—
114	#117	C₂³	1	2	yes	—
115	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#117	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
123	#103	C₂³	1	8	yes	—
124	#103	C₂³	1	16	yes	—
125	#102	C₂³	1	8	yes	—
126	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
127	#97	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
129	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
130	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
131	#41	—	2	4	no	—
132	#41	—	2	8	no	—
133	#41	—	4	8	no	—
134	#41	—	4	16	no	—
135	#41	—	4	8	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
142	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
143	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
144	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
147	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	Q₁₆	—	4	16	no	—
164	Q₁₆	—	4	8	no	—
165	SD₁₆	—	4	8	no	—
166	M₁₆	—	2	4	no	—
167	C₂×C₈	—	2	4	no	—
168	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₄²	—	2	8	no	—
190	C₄²	—	2	2	no	—
191	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
194	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
195	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	Q₈	—	2	2	no	—
200	Q₈	—	2	8	no	—
201	Q₈	—	2	8	no	—
202	Q₈	—	2	4	no	—
203	Q₈	—	4	8	no	—
204	Q₈	—	4	4	no	—
205	Q₈	—	4	4	no	—
206	Q₈	—	4	4	no	—
207	D₄	—	2	4	no	—
208	D₄	—	2	2	no	—
209	D₄	—	2	4	no	—
210	D₄	—	4	8	no	—
211	D₄	—	4	4	no	—
212	D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	4	8	no	—
221	C₂×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
232	C₈	—	2	4	no	—
233	C₈	—	2	4	no	—
234	C₂²	—	2	2	no	—
235	C₂²	—	2	2	no	—
236	C₂²	—	2	4	no	—
237	C₂²	—	4	2	no	—
238	C₂²	—	4	4	no	—
239	C₂²	#535	1	2	yes	—
240	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	2	4	no	—
243	C₄	—	2	2	no	—
244	C₄	—	4	4	no	—
245	C₄	—	4	2	no	—
246	C₄	—	4	4	no	—
247	C₄	—	4	4	no	—
248	C₄	#535	1	2	yes	—
249	C₄	#578	1	4	yes	—
250	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
251	C₂	—	2	2	no	—
252	C₂	—	4	2	no	—
253	C₂	—	8	2	no	—
254	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
255	C₂	C₂×#578	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3499	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3509	C₂	semidirect
3. #3223	C₂	semidirect
4. #3210	C₂	semidirect
5. #3209	C₂	semidirect
6. #3152	C₂	semidirect
7. C₂×#494	C₂	semidirect
8. #3139	C₂	semidirect
9. #3131	C₂	semidirect
10. #3044	C₂	semidirect
11. #3011	C₂	semidirect
12. #2922	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3509	2
#3499	2
#3223	2
#3210	2
#3209	2
#3152	2
C₂×#494	2
#3139	2
#3131	2
#3044	2
#3011	2
#2922	2